Верхние и нижние индексы.

[Kitozavr]

В чём различие между верхними и нижними индексами. Например, практически цитата из книги:
Есть базис $ \vec{e_1}, \vec{e_2},..., \vec{e_n}$, тогда вектор $ \vec{x} = \sum \limits_{i=1}^n x^i \vec{e_i}$.
Почему в сумме у коэффициентов индексы сверху, а у базисных векторов снизу?

[ewert]

Ну традиционно: верхние значки контравариантны, нижние -- ковариантны.

(это означает, что компоненты, снабжённые верхними значками, преобразуются при замене координат по тем же правилам, т.е. умножением на ту же матрцу, что и координаты векторов, а снабжённые нижними -- наоборот, по правилам преобразования самих базисных векторов, т.е. посредством умножения на обратную транспонированную. В частном случае ортогональных преобразований различия исчезают, т.е. остаётся лишь стилистическое)

[Morkonwen]

Вообще сперва вводят контрвариантные координаты $x^i$ и обычный ковариантный базис, но дело в том, что если базис косой, то скалярное произведение будет в нем записыватся сложно, чтобы такого не было базису сопостовляют другой, контравариантный базис. Это такие же векторы, просто другой набор. Соответственно в этом втором базисе свои координаты они обозначаются $x_i$ Второй базис подбирается так, что скалярное произведение получается как сумма попарных произведений$ \Sigma x_i y^i$ - все становится проще в таком виде =)

[Kitozavr]

Понятно, спасибо.