Теоретический вопрос про дифференциальные уровнения

[petia.p]

$p(x), q(x), g(x)$ функции непрерывны в $\mathbb R$. Соществует точка $x_0\in\mathbb R$, так что $g(x_0)\neq0$.
1) Возможно ли что у уравнения $y''+p(x)y'+q(x)y=g(x)$ существует 3 линейно независимых решения?
2) Возможно ли что у уравнения $y''+p(x)y'+q(x)y=g(x)$ существует 4 линейно независимых решения?

Я так понимаю, что ответ на 1-ый вопрос, это да, а на 2-ой, нет. Но, как это доказать?
Есть теорема, у линейного неоднородного дифференциального уравнения $n$-ого порядка, может быт $n$ линейно независимых решений. Тут у нас уравнение 2-ого порядка и спрашивают про 3 и 4 решения.

[ewert]

petia.p в сообщении #466053 писал(а):

что $x_0\neq0$.

Это-то ещё зачем?

petia.p в сообщении #466053 писал(а):

Есть теорема, у линейного неоднородного дифференциального уравнения $n$-ого порядка, может быт $n$ линейно независимых решений.

У линейного однородного уравнения. Для неоднородного же общее решение имеет вид $C_1\varphi_1(x)+C_2\varphi_2(x)+\widetilde y(x)$. Это задаёт некоторое двумерное аффинное многообразие в некотором трёхмерном линейном пространстве функций и, следовательно, более чем трёх линейно независимых элементов в нём существовать не может в принципе. Три же -- ради бога: например, достаточно взять три набора произвольных постоянных $(0,0)$, $(1,0)$ и $(0,1)$.

[petia.p]

ewert в сообщении #466055 писал(а):

petia.p в сообщении #466053 писал(а):

что $x_0\neq0$.

Это-то ещё зачем?

Простите, опечатка $g(x_0)\neq0$. Данно видимо что бы указать на то, что уравниние неоднродное.

Если сказать так:
У неоднородного диференциальное уравнение 2-ого порядка, решение имеет такую форму:
$y=y_h+y_p$
$y_h=C_1e^{\lambda_1 x}+C_2e^{\lambda_2 x}$
$y_p=r(x)\neq0$
$(C_1, C_2)\in Span\{(0, 0), (1, 0), (0, 1)\}$
Таким образом у уравнения существует 3 линейно независимых решений.

Ответ на второй вопрос, я понял интуитивно, но не математически.

Цитата:

некоторое двумерное аффинное многообразие в некотором трёхмерном линейном пространстве функций

Что то не помню что бы мы это учили. Где можно про это прочесть?

[ewert]

petia.p в сообщении #466059 писал(а):

Что то не помню что бы мы это учили. Где можно про это прочесть?

В курсе линейной алгебры. Правда, не в любом.

Ладно, забейте на всякие умные слова и просто докажите такой вполне элементарный факт: если элементы $\varphi_1,\varphi_2,\ldots,\varphi_n$ линейно независимы и элемент $\varphi_{n+1}$ не является их линейной комбинацией, то и элементы $\varphi_{n+1},\varphi_1+\varphi_{n+1},\varphi_2+\varphi_{n+1},\ldots,\varphi_n+\varphi_{n+1}$ также линейно независимы.