Интегралы (Длина дуги астроиды)

[Chromocenter]

Не поулчается два интерала:
длинна дуги заданная функцией:
$\sin^3 t +\cos^3 t $
между точками $0$ и $\pi/2$.
и интеграл функции: $y^2 e^{xy}$
на участке $y=x$, $y=2$, $x-0$.
Помогите разобраться!
Заранее спасибо!

[Falex]

Для первого интеграла ответ 4/3 (я думаю здесь ничего сложного нет: или замена или внеси косинус или синус под знак дифференцирования).
Вроде так:

$$ \int_0^2 {dy} \int_0^x {y^2 e^{xy} } dx = \frac{3}{4}e^4 - \frac{7}{4} $$

[Chromocenter]

Огромные извенения - я забыл указать, что перввый интеграл - это длинна дуги между пределами.
Falex - спасибо.

[Brukvalub]

Chromocenter писал(а):

Огромные извенения - я забыл указать, что перввый интеграл криволинейный - это длинна дуги между пределами.
Falex - спасибо.

Попробуйте сами понять свой пост: длина дуги - это одно, а криволинейный интеграл первого рода от функции по этой дуге - нечто другое. Как говорится, угадай с трех раз, что я у тебя хотел спросить.

[Falex]

Chromocenter мы ответили на Ваши вопросы?

[Chromocenter]

Ой, длинна дуги, да - длинна отрезка дуги, заданной этой функцией между указанными точками. Извините.

[Brukvalub]

Chromocenter писал(а):

Ой, длинна дуги, да - длинна отрезка дуги, заданной этой функцией между указанными точками. Извините.

На мой взгляд, понятнее не стало. Все мои попытки догадаться привели меня к нескольким интегралам, которые заведомо не берутся в классе элементарных функций. Сдаюсь, признаю себя проигравшим, пишите полную и правильную формулировку.

[Someone]

Может быть, имелась в виду длина дуги астроиды $\begin{cases}x=\cos^3t\\y=\sin^3t\end{cases}$?

[Chromocenter]

Да, скорее всего. Не подскажите?

[Someone]

Chromocenter писал(а):

Да, скорее всего. Не подскажите? :(

Что значит: "Скорее всего"? Откуда Вы взяли эти задачи? Там разве нет точных формулировок?

Вычислить длину дуги астроиды нетрудно, но, может быть, там совсем другая задача?

$$l=\int\limits_0^{\frac{\pi}2}\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2}dt=\int\limits_0^{\frac{\pi}2}\sqrt{(3\cos^2t(-\sin t))^2+(3\sin^2t\cos t)^2}dt=\int\limits_0^{\frac{\pi}2}\sqrt{9\cos^2t\sin^2t(\cos^2t+\sin^2t)}dt=$$

$$=\int\limits_0^{\frac{\pi}2}\sqrt{\frac 94\sin^22t}dt=\frac 32\int\limits_0^{\frac{\pi}2}\sin2tdt=\left.-\frac 34\cos2t\right|_0^{\frac{\pi}2}=-\frac 34(\cos\pi-\cos 0)=\frac 32$$

.

[Chromocenter]

Да, да именно это - я просто не мог вспомнить, где её видел - писал по памяти . Теперь нашёл и проверил. Спасибо большое! Только вот просто интересно - какой же вид имеет эта кривая, если её длинна между нулём и $\pi/2, даже меньше $\pi/2

[Someone]

Chromocenter писал(а):

Только вот просто интересно - какой же вид имеет эта кривая, если её длинна между нулём и $\pi/2, даже меньше $\pi/2

Эта дуга соединяет точки $(1;0)$ и $(0;1)$ на плоскости $Oxy$. Расстояние между этими точками равно $\sqrt{2}<\frac 32$. Дуга вогнута и касается осей координат в своих концевых точках. Эта дуга составляет четверть всей кривой. Вся кривая получится, если эту дугу отобразить симметрично относительно осей координат.

Астроиду описывает точка окружности, катящейся без скольжения изнутри по окружности вчетверо большего радиуса.

http://ru.wikipedia.org/wiki/%C0%F1%F2%F0%EE%E8%E4%E0

[Chromocenter]

Интересная штучка. Спасибо!