Задачи на сходимость рядов

[bork1337]

Здравствуйте!

Столкнулся с такой задачей:
исследовать на сходимость ряд

$$\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\ln n}{\sqrt[4]{n^5}}$$

с помощью признаков сравнения. Необходимое условие сходимости выполнено, но применяя очевидные сравнения
$\ln n < n$ получаем расходящийся ряд с большими членами
и $\ln n > 1$ получаем сходящийся с меньшими. Применяя признак Даламбера так же нет ответа, т.к. в пределе получается 1. Не подскажете с чем его можно сравнить?

[ewert]

Логарифм много меньше любой степени. Отщипните кусочек от знаменателя, чтобы тот логарифм погасить.

[bork1337]

ewert
вы уж меня извините! что ж поделать?! тупой, а обратиться больше не к кому! В рядах не силен, но кроме этого примера все решил в сб. зад. Бермана на эту тему. А этот не могу. Или совсем уже в шары долблюсь, как говорится!

Цитата:

Логарифм много меньше любой степени.

это конечно так

Цитата:

Отщипните кусочек от знаменателя

пробовал я и раньше знаменатель представлять как $n\sqrt[4]{n}$, но все равно не могу увидеть сходящегося ряда с большими членами (собственно как и расходящегося с меньшими):
$\dfrac{\frac{\ln n}{n}}{\sqrt[4]{n}}=\dfrac{ \frac{\ln n}{\sqrt[4]{n}}}{n}<\dfrac{1}{\sqrt[4]{n}}$

[ewert]

а почему корень именно четвёртой-то степени? Отщипните поменьше.

[bork1337]

ничего не пойму
так он же все равно останется - четвертой то степени корень. Можно конечно представить $\sqrt[4]{n^5}$ как $\sqrt{n}\sqrt[4]{n^3}$, но ведь я все равно сравниваю потом в числителе $\ln n$ и $n$. Скорей всего в этом моя ошибка! Как не разбивай знаменатель при таком сравнении все равно получится с большими членами ряд $\dfrac{1}{\sqrt[4]{n}}$!

[ewert]

А кто Вам запрещает разбить $n^{5/4}$, например, как $n^{1.249}\cdot n^{0.001}$?...

[bork1337]

т.е. рассмотреть к примеру ряд с общим членом $\dfrac{1}{n^{1.25-0.001}}=\dfrac{n^{0.001}}{n^{1.25}}$, который, конечно, сходится. И за счет того, что на бесконечности $\ln n < n^{0.001}$ (можно доказать, найдя предел $\dfrac{\ln n}{n^{0.001}}$ при $n\rightarrow\infty$) делаем вывод о сходимости исходного ряда. Так вроде бы?

[ewert]

Так.

Общая идея для подобных ситуаций: логарифм на фоне степеней почти не заметен, и на сходимость существенно не влияет. Если, конечно, есть запас -- вот как в этом случае. Формализовывать эти соображения вот ровно так и надо -- гася логарифм избытком степени. А если избытка нет -- как, скажем, для ряда $\sum\dfrac{1}{n\,\ln n}$ -- тогда признаки сравнения не сработают, только интегральный.

[bork1337]

ewert
спасибо Вам большое за ценную информацию!