пара задач на множества

[ean]

Помогите пожалуйста проверить рассуждения.

Цитата:

Покажите, что отображение $f:X \to Y$ сюръективно, если и только если для любого множества $B' \subset Y$ справедливо $f(f^{-1}(B'))=B'$

Мои рассуждения:
из $f$ - сюръекция $\implies f(f^{-1}(B'))=B'$.
Т.к. $f$ - сюръекция, то $\exists B \subset X$, что $f(B)=B'$
Пусть $f(f^{-1}(B')) \neq B'$, пусть $\exists y \in B'$ такой, что $f(f^{-1}(y))=y' \notin B'$
$f^{-1}(y)=x \in B, f(x) = y \in B'$
$f(f^{-1}(y))=f(x)=y' \notin B' \implies y = y'$, чего не может быть, следовательно таких $y$ не существует и следовательно $f(f^{-1}(B'))=B'$.
В обратную сторону, из $f(f^{-1}(B'))=B' \implies f$ - сюръекция.
Пусть это не так, т.е. $f(X) \neq Y$. Пусть $\exists y$ такое, что $\nexists x \in X$, что $f(x) = y$. Из таких $y$ составим $B'$, тогда $f^{-1}(B) = \varnothing \implies f(\varnothing)=\varnothing \neq B'$, что есть противоречие, следовательно $f$ - сюръекция.

Цитата:

$f^{-1}(f(A))=A \implies f(A \cap B) = f(A) \cap f(B)$ для любой пары $A, B \subset X$

$\vartriangleleft$Пусть это не так, пусть $f(A) \cap f(B) = f(A \cap B) \cup C'$, причём $C' \cap f(A \cap B) = \varnothing$.
$C' \subset f(A) \cap f(B) \implies \begin{cases} C' \subset f(A) \implies \exists C_A \subset A, f(C_A)=C' \\ C' \subset f(B) \implies \exists C_B \subset A, f(C_B)=C' \end{cases}$
$\forall y \in C' ~ \exists x_1 \in A ~ f(x_1)=y, \exists x_2 \in B ~ f(x_2)=y$,
при этом $\nexists x \in A \cap B ~ f(x)=y$
$A \supset C_A = f^{-1}(f(C_A))=f^{-1}(C')=f^{-1}(f(C_B))=C_B \subset B \implies$
$C_A=C_B \subset A \cap B$,
но $C \cap (A \cap B) = \varnothing \implies C = \varnothing \implies f(A \cap B) = f(A) \cap f(B) \vartriangleright$
Должен ли я здесь ещё проверить предположение, что $f(A \cap B) = (f(A) \cap f(B)) \cup C'$?