Теория и эксперимент.

[jurij]

Эта тема возникла как один из результатов обсуждения статьи «Дальнодействия принцип».
Давайте, измерим скорость какого-либо тела между двумя точками пространства A и B. Пусть расстояние между ними равно s, а время прохождения телом этой дистанции равно t. Тогда скорость тела между точками A и B будет равна.
v = s/t.
Полученная скорость будет средней на дистанции AB. Но в книжках пишут, что понятие скорость можно поставить в соответствие не только для дистанции, но и для точки. Тогда она будет описываться следующим выражением:
v = ds/dt,
где: ds – бесконечно малая окрестность этой точки.
dt – бесконечно малое время, в течение которого тело находилось в этой окрестности.
И, что очень важно, математики говорят нам, что это выражение и есть настоящее понятие скорости. Хорошо. Давайте, определим в нашем в опыте настоящую скорость тела. Например, в точке B. Для этого станем приближать эту точку к точке A. Тогда s превратится в $\Delta s$, t в $\Delta t$, а скорость будет равна:

$$v = \Delta s/\Delta t$$

.
Математик (физик-теоретик), наблюдая за нами, скажет: правильной дорогой идете товарищи. Смело уменьшайте расстояние между точками A и B до бесконечно малого, т.е. заменяйте $\Delta s$, на ds, а $\Delta t$ на dt. И тогда вы найдете истинное значение скорости тела в точке B (A). Однако, мы не теоретики. Чтобы измерять бесконечно малые ds и dt, нам необходимы приборы, которые измеряют расстояние и время с бесконечно большой точностью.

Идем в магазин салон-прибор и говорим продавцу: дайте нам прибор, имеющий сколь угодно большую точность измерений. Продавец - ??? Вспоминаем определение бесконечно малой (большой) величины и объясняем продавцу: какую бы точность измерения мы не навали, вы должны выложить на прилавок прибор, имеющий большую точность.
Находчивый продавец отвечает: да, такой прибор у нас есть, но он стоит бесконечно больших денег. Мы - ??? Продавец: сколь большую сумму вы не согласитесь выплатить за этот прибор, я назову большую.

Короче, вернулись ни с чем, и пошли к теоретикам. Спрашиваем, ребята, а может быть этой самой «ds/dt» (как и других подобных величин) в реальности вообще не существует. В опыте мы же их измерить не может. Может и дифференциальные уравнения, которые вы так любите писать, ни чему в опыте не соответствуют (ну, может быть, не совсем соответствуют).
Теоретики в ответ: парни, не парьтесь. Наши уравнения точно и полноценно описывают окружающий нас мир потому, что Бог не только не играет в кости, но и не занимается измерениями.

Так то, оно так. Но все равно, ерунда какая-то получается. Уравнения записываются в одних, не измеряемых в опыте величинах. А их решения проверяются в других, конечных величинах.

Теоретики успокаивают. Ребята, все в порядке: решения дифференциальных уравнений – это интегралы. То есть, величины, которые можно измерить очень даже реальными приборами.

Почти убедили. Но какая-то закавыка остался. Действительно, почему бы, чтобы исключить подобные сомнения, не писать уравнения в конечных малых величинах. То есть, в малых величинах, но которые реально измеряются в опыте. Тогда и ни каких сомнений относительно решений таких уравнений не будет.

Я не большой знаток дифференциального исчисления. Поэтому обращаюсь к знающим участниками форума с вопросом. Как, при переходе от бесконечно малых к конечным малым величинам изменятся решения дифференциальных уравнений. Никак? Уменьшится точность решений? Решения могут измениться принципиально?

[EvilPhysicist]

jurij в сообщении #464407 писал(а):

Тогда скорость тела между точками A и B будет равна.
v = s/t.

Это будет средная скорость.

jurij в сообщении #464407 писал(а):

Но в книжках пишут, что понятие скорость можно поставить в соответствие не только для дистанции, но и для точки

Это, простите, как понимать? как можно скорость сопоставить дистанции?

jurij в сообщении #464407 писал(а):

И, что очень важно, математики говорят нам, что это выражение и есть настоящее понятие скорости.

Это говорят не математики, а физики. И это настоящее

(Оффтоп)

вот ведь бред

определение скорости по определению скорости.

jurij в сообщении #464407 писал(а):

Однако, мы не теоретики.

Этим вы как бы тонко намекаете, что кладёте на все теоретические выводы и обоснования?

jurij в сообщении #464407 писал(а):

Короче, вернулись ни с чем, и пошли к теоретикам. Спрашиваем, ребята, а может быть этой самой «ds/dt» (как и других подобных величин) в реальности вообще не существует

Дак и цифр в реальности не существует. и линейных пространств, и векторов и так далее. Это математические модели. Вам не говорили, что физика исследует модели явлений?

jurij в сообщении #464407 писал(а):

Теоретики в ответ: парни, не парьтесь. Наши уравнения точно и полноценно описывают окружающий нас мир потому, что Бог не только не играет в кости, но и не занимается измерениями.

бред уже какой-то

jurij в сообщении #464407 писал(а):

Но все равно, ерунда какая-то получается. Уравнения записываются в одних, не измеряемых в опыте величинах.

Вы врят ли учились в ВУЗе. Иначе вы бы прошли курс физического практикума и таких вопросах у вас не возникло бы.

jurij в сообщении #464407 писал(а):

Как, при переходе от бесконечно малых к конечным малым величинам изменятся решения дифференциальных уравнений. Никак?

Уравнения перестают быть дифференциальными и становятся конечно-разностными.

[jurij]

Для «EvilPhysicist».
Поставить одно понятие в соответствие к другому означает, что первое понятие имеет смысл применительно ко второму. Например, понятие скорости можно поставить в соответствие с дистанцией, поскольку, есть путь (дистанция), которую прошло тело, а значит можно говорить о скорости его движения (на этой дистанции). Точка, по определению, не имеет размера. Поэтому говорить о скорости движения тела в точке, т.е. тогда, когда оно никуда не двигается, затруднительно. Понятие мгновенной скорости это и есть тот случай, когда понятие скорости ставится в соответствие точке.

Физики-теоретики по складу мышления мало чем отличаются от математиков.

Я ничего и никуда не кладу. Я лишь любопытствую.

Спасибо, я в курсе дела, что предметом исследования теоретической физики являются не свойства тел и их отношений друг к другу. А формальные образы этих свойств – физические величины, и математические уравнения из них составленные. Однако позволю продолжить. Процедурой перехода от реальных свойств к отображающим их физическим величинам является процедура ИЗМЕРЕНИЯ. И от корректности ее проведения зависит корректность последующих теоретических исследований. Собственно, один из таких переходов и рассматривается в данной статье.

Альберт Эйнштейн не жаловал квантовую механику за то, что неопределенность является ее одним из центральных понятий. Поэтому поводу он заметил, что Бог не играет в кости. То есть природа реализует явления не случайным выбором (бросая игральные кости), а закономерно. Я лишь дополнил эту цитату: природа реализует явления, не проводя для этого каких-либо измерений.

Я не против того, если Вы просветите меня в вопросе о физическом практикуме.

Спасибо, как называются такие уравнения, я знаю. Вопрос касался отличия решений дифференциальных и отображающих их конечно-разностных уравнений.

[espe]

jurij в сообщении #464481 писал(а):

Я не против того, если Вы просветите меня ...

Прочитайте Сивухина 1 том параграф 6 "О смысле производной и интеграла в приложениях к физическим вопросам". По-моему это о том что Вы спрашиваете.

[Jnrty]

jurij в сообщении #464407 писал(а):

v = ds/dt,
где: ds – бесконечно малая окрестность этой точки.
dt – бесконечно малое время, в течение которого тело находилось в этой окрестности.

Полная чушь. Мгновенная скорость определяется как предел средней скорости, кода промежуток времени, в течение которого рассматривается движение, стремится к $0$:

$$v_{\text{ср}}=\frac{\Delta s}{\Delta t},$$

где $\Delta t$ - продолжительность движения, $\Delta s$ - пройденное за это время расстояние; поэтому

$$v=\lim_{\Delta t\to 0}v_{\text{ср}}=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta s}{\Delta t}=\dot s=\frac{ds}{dt}.$$

Что касается $\frac{ds}{dt}$, то можете это рассматривать просто как обозначение производной.
Конечно, можно вспомнить, что $dt$ и $ds$ - это обозначения дифференциалов. Но при этом $dt=\Delta t$, а $ds=\dot s\Delta t$, так что ничего "бесконечно малого" тут усмотреть не удаётся.

jurij в сообщении #464407 писал(а):

Я не большой знаток дифференциального исчисления.

Это очень хорошо видно.

jurij в сообщении #464407 писал(а):

Как, при переходе от бесконечно малых к конечным малым величинам изменятся решения дифференциальных уравнений. Никак? Уменьшится точность решений? Решения могут измениться принципиально?

Замена дифференциальных уравнений конечно-разностными безусловно приводит к изменению решений. Как именно изменятся решения - зависит от многих обстоятельств, в частности, решения могут измениться до полной неузнаваемости. Такая замена неоднозначна, не сводится, вообще говоря, к замене производных на отношения приращений, и выбор разностной схемы, обеспечивающей близость решения разностного уравнения к решению дифференциального уравнения, является нетривиальной задачей.

Jnrty:

Ввиду полной безграмотности топикстартера считаю продолжение обсуждения нецелесообразным, тему закрываю.
Если будете продолжать свои безграмотные поучения - заблокирую за безграмотность.