Антиассоциативное кольцо

[arqady]

Антиассоциативное кольцо без элементов второго порядка в его абелевой группе нильпотентно.
Доказать.

[BapuK]

(Оффтоп)

антиассоциативное = не ассоциативное?

[arqady]

Антиассоциативное кольцо - это кольцо с тождеством $(ab)c=-a(bc)$.

[alcoholist]

правда ли, что в таком кольце имеют место тождества
$a^3=0$ и $(ab)^2=0$?

[arqady]

Ваше $a^3=0$ напомнило мне красивый факт:
Всякое ассоциативное ниль-кольцо индекса 3 без элементов конечного порядка в абелевой группе нильпотентно индекса 6.
(именно 6, а не 7, как следует из доказательства теоремы Нагаты-Хигмана)

[lofar]

Все 5 вариантов расстановки скобок на 4 переменных можно записать в цикл так, что соседние расстановки отличаются заменой места одной пары скобок, а значит имеют противоположный знак: $a(b(cd)), (ab)(cd), ((ab)c)d, (a(bc))d, a((bc)d)$. 5 -- нечетное число, поэтому любой из этих 5 мономов равен себе со знаком минус и значит, по условию, равен 0.

[arqady]

Да!