Интервал, содержащий не менее одного простого числа.

[Побережный Александр]

Уважаемые софорумники!
Путем не хитрых рассуждений возникла гипотеза, что интервал
$[N;N(1+\frac{1}{(lnN)})]
содержит не менее одного простого числа. Проверка на небольших числах вроде подтверждает гипотезу.
Строгое доказательство пока мне не под силу. Хотелось бы услышать мнение знающих и интересующихся.

[Руст]

Доказаны более сильные результаты типа $p_{n+1}-p_n=O(p_n^{a+\epsilon})$. Из зарубежных $a=0.502$, из гипотезы Линделефа (Усольцев) следует $a=0.5$.

[Побережный Александр]

Я правильно вас понял, что интервал
$[N;N(1+\frac1{\sqrt{N}})]$
содержит не менее одного простого числа?

[Руст]

Побережный Александр в сообщении #464122 писал(а):

Я правильно вас понял, что интервал
$[N;N(1+\frac1{\sqrt{N}})]$
содержит не менее одного простого числа?

Точнее из результата Усольцева получается в интервале $(N,N(1+\frac{C(\ln N)^k}{\sqrt N})).$
Более точная гипотеза об этом и проверенная почти до $10^{19}$ такая:
В интервале $(x-\ln^2x,x),x>2$ имеется простое число.

[vbn]

Есть гипотеза Лежандра (третья проблема Ландау):
верно ли, что между $n^2$ и $(n + 1)^2$ всегда найдётся простое число?

А есть интересный и доказанный результат:
между $n-n^\theta$ и $n всегда найдётся простое число, $\theta=\frac {23} {42}$.
(Iwaniec, H. and Pintz, Hardy, G. H. and Wright, W. M.)