Необходимое условие безусловного локального экстремума

[ccoder]

Здравствуйте.
Изучаю методы оптимизации и не могу понять суть теоремы и некоторые обозначения. (так толком и не смог найти где-бы это объясняется также)

Теорема - Необходимое условие безусловного локального экстремума

Цитата:

Допустим, что внутренняя точка $\bar x$ множества $X \subset {R_n}$ является локальной точкой минимума экстремума функции $\varphi$.
Если в этой точке функция $\varphi$ два раза дифференцируется, то матрица $\[{\varphi ^{''}}(x)\]$ неотрицательно определена. Т.е. со всеми $\[h \in {R^n}\]$ действует неравенство $\[\left\langle {{\varphi ^{''}}(\overline x )h,h} \right\rangle \geqslant 0\]$

1. Мне не ясно что означает запись ${R_n}$ (например чем она отличаться от ${R}$), как-то странно, стандартное обозначение? (вот тут вот вроде нет такого http://en.wikipedia.org/wiki/Table_of_mathematical_symbols и тут http://en.wikipedia.org/wiki/Real_number#Notation тоже нето ) Тоесть это вреде не номер множества действительных чисел....
2. Что означает ${R^n}$ в моём случае? Декартово произведение $\[{R_1} \times {R_2} \times ... \times {R_n}\]$ ?
3. И не могу вспомнить где можно подробней почитать про $\[\left\langle {{\varphi ^{''}}(\overline x )h,h} \right\rangle \geqslant 0\]$, это из раздела мат. анализа?

-- Пт июл 01, 2011 01:06:17 --

Я вот тут http://en.wikipedia.org/wiki/Second_derivative_test нашел что-то похожее. Но для чего нужна формула ?

[Kallikanzarid]

Это просто неправильно написанное $\mathbb{R}^n$. Может, вам стоит сначала изучить анализ функций нескольких переменных?

[ewert]

ccoder в сообщении #463861 писал(а):

И не могу вспомнить где можно подробней почитать про $\[\left\langle {{\varphi ^{''}}(\overline x )h,h} \right\rangle \geqslant 0\]$, это из раздела мат. анализа?

Это из анализа в совокупности с линейной алгеброй: $h$ -- это произвольный вектор, $\varphi''$ -- матрица из всевозможных вторых производных. Матрица умножается на вектор, после чего берётся скалярное произведение полученного вектора на исходный $h$. Результат должен получаться неотрицательным для любого $h$, это по определению и означает неотрицательность самой матрицы.

[ccoder]

А вот этой записи Вы могли-бы дать толкование
$X \subset \mathbb{R}_n$
ато не могу дойти до сути.

[ccoder]

ewert в сообщении #463901 писал(а):

ccoder в сообщении #463861 писал(а):
И не могу вспомнить где можно подробней почитать про $\[\left\langle {{\varphi ^{''}}(\overline x )h,h} \right\rangle \geqslant 0\]$, это из раздела мат. анализа?

Это из анализа в совокупности с линейной алгеброй: $h$ -- это произвольный вектор, $\varphi''$ -- матрица из всевозможных вторых производных. Матрица умножается на вектор, после чего берётся скалярное произведение полученного вектора на исходный $h$. Результат должен получаться неотрицательным для любого $h$, это по определению и означает неотрицательность самой матрицы.

Слушайте, ну никак не понимаю.

Смотрите например есть
$\[f(x,y) = 40 + {x^3}(x - 4) + 3{(y - 5)^2}\]$
находим $\[{f_x} = {x^2}(4x - 12)\]$ и $\[{f_y} = 6(y - 5)\]$
далее

$$\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^2}(4x - 12) = 0} \\ {6(y - 5) = 0} \\ \end{array} } \right.\] $$

получаем
(3, 5) и (0, 5).
далее
$\[{f_{xx}} = 12{x^2} - 24x\]$, $\[{f_{yy}} = 6\]$, $\[{f_{xy}} = 0\]$
получается матрица

$$\[{H_f}(x,y) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {12{x^2} - 24x} & 0 \\ 0 & 6 \\ \end{array} } \right]\] $$

далее

$$\[{H_f}(3,5) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {36} & 0 \\ 0 & 6 \\ \end{array} } \right]\] $$

и всё. Сморим больше (меньше). Так-же и со второй точкой.

А зачем тут
$\[h \in {R^n}\]$
?

-- Пт июл 01, 2011 21:20:22 --

Это как-то связанно с понятием касательной?

-- Пт июл 01, 2011 21:29:12 --

Может $h$ это своего рода все точки пространства заданного функциями
$\[{f_{xx}} = 12{x^2} - 24x\]$, $\[{f_{yy}} = 6\]$, $\[{f_{xy}} = 0\]$, $\[{f_{yx}} = 0\]$, при $x,y = 3,5$ (или как тут правильно выразиться поправте меня)

-- Пт июл 01, 2011 21:30:00 --

Прошу ликвидировать меня такого от безграмотности

-- Пт июл 01, 2011 21:34:57 --

ccoder в сообщении #464091 писал(а):

Может $h$ это своего рода все точки пространства заданного функциями
$\[{f_{xx}} = 12{x^2} - 24x\]$, $\[{f_{yy}} = 6\]$, $\[{f_{xy}} = 0\]$, $\[{f_{yx}} = 0\]$, при $x,y = 3,5$ (или как тут правильно выразиться поправьте меня)

Если так, то как толком умножается матрица

$$\[\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {36} & 0 \\ 0 & 6 \\ \end{array} } \right]\] $$

на $h$?

[Kallikanzarid]

ccoder в сообщении #464051 писал(а):

А вот этой записи Вы могли-бы дать толкование
$X \subset \mathbb{R}_n$

Если не можете "дать толкование" этому, то вам еще рано изучать методы оптимизации.