Самая лёгкая задача с финала Всесоюзки (арифметическая)

[Xenia1996]

(Преамбула)

Обычно, задачи на Всесоюзках (Всероссийках) попадаются довольно трудные (особенно в финальном этапе (и особенно для последнего класса)).
Я решила найти самую лёгкую из них. И, кажется, нашла.

Найти такие 19 различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр, что их сумма равна

а) 1999

б) 2011,

или доказать, что таких нет.

[M.Konst]

Очевидно, остатки по модулю 9 у них равны. Пусть они равны x. Получаем
$19x=1999(\mod 9)$
$x=1(\mod 9)$
Сразу отвергаем 1 и 10, иначе придется брать степени 10. Дальше идет 19, тогда у остальных сумма цифр тоже 10, среди таких чисел 28, 37, ..., 91, 109, ..., 190. В этом случае получаем, что их сумма это 1990, причем она минимальна. К тому же нет такого числа, которое можно было бы увеличить на 9 и нет ни одного числа, которое можно было бы уменьшить, чтобы увеличить сумму за счет увеличения другого. В любом случае сумма будет, либо 1990, либо как минимум 2008. Как-то так.
Второй случай проще, получаем сразу, что
$x=4(\mod 9)$
Случай, когда первый член 4, минимальная сумма переваливает через 2011 где-то за первые 15 членов. Если же не 4, то самое малое из тех, у которых сумма цифр не 4, это 49. Думаю, в этом случае тоже перевалит.

[Xenia1996]

M.Konst в сообщении #463588 писал(а):

Очевидно, остатки по модулю 9 у них равны. Пусть они равны x. Получаем
$19x=1999(\mod 9)$
$x=1(\mod 9)$
Сразу отвергаем 1 и 10, иначе придется брать степени 10.

Почему?
Ну, 1, понятно, а вот 10. Скажем, число 64 - это степень десятки с натуральным показателем?

[M.Konst]

Xenia1996 в сообщении #463591 писал(а):

M.Konst в сообщении #463588 писал(а):

Очевидно, остатки по модулю 9 у них равны. Пусть они равны x. Получаем
$19x=1999(\mod 9)$
$x=1(\mod 9)$
Сразу отвергаем 1 и 10, иначе придется брать степени 10.

Почему?
Ну, 1, понятно, а вот 10. Скажем, число 64 - это степень десятки с натуральным показателем?

Сумма цифр равна, а у числа 10 сумма цифр все-таки 1, а не 10.

[Xenia1996]

M.Konst в сообщении #463592 писал(а):

Сумма цифр равна, а у числа 10 сумма цифр все-таки 1, а не 10.

Значит, я Вас просто не поняла.
Ну, а если присутствуют числа 1 и 10, почему сумма должна быть степенью десятки?
**********

Ой, только сейчас дошёл смысл Вашей фразы "Сразу отвергаем 1 и 10, иначе придется брать степени 10. ".

Тогда у Вас всё верно.