Преобразование Fourier производной

[Alhimik]

Всем привет! В общем известное свойство преобразования Фурье $F\left [ \frac{df}{dt} \right] = i \omega F\left[f(t)\right]$. Я решил поиграться с двумя функциями: импульсным сигналом $f_1(t)\begin{cases}=1, t \in [0;\tau] \\ =0, t \notin [0; \tau] \end{cases}$; Его преобразование Фурье $F \left[ f_1(t) \right] = \frac{1}{\omega} \left[ \sin {\omega \tau }+ i \left ( \cos {\omega \tau} - 1 \right) \right]$ и прямой на этом же временном интервале $f_2(t) \begin{cases} = t, t \in [0; \tau] \\ =0, t \notin [0; \tau] \end{cases}$.
$F \left[ f_2(t) \right] = \frac {\tau \sin {\omega \tau}}{\omega} + \frac {\cos {\omega \tau} -1} {\omega^2} + i \left ( \frac{\tau \cos{\omega \tau}}{\omega} - \frac{\sin{\omega \tau}} {\omega^2} \right)$. И импульсный сигнал $f_1(t)$ это производная от прямой $f_2(t)$. Таким образом, $F [f_1(t)] = i \omega F[f_2(t)] $ Хотя, почему-то этого не происходит. Кто-нибудь знает почему?

[AD]

Alhimik в сообщении #463441 писал(а):

И импульсный сигнал $f_1(t)$ это производная от прямой $f_2(t)$.

Чего-чего? Аккуратно сформулируйте теорему о дифференцировании преобразования Фурье, там что-нибудь должно быть сказано о дескриптивных свойствах первообразной. Грубо говоря, $f_2(t)$ должна быть равна $\tau$, а не $0$, при $t>\tau$

[ewert]

Alhimik в сообщении #463441 писал(а):

Таким образом, $F [f_1(t)] = i \omega F[f_2(t)] $

Ну, во-первых, наоборот. А во-вторых, при дифференцировании $f_2$ возникает, кроме $f_1$, ещё и дельта-функция.

-- Ср июн 29, 2011 17:19:31 --

AD в сообщении #463444 писал(а):

Грубо говоря, $f_2(t)$ должна быть равна $\tau$, а не $0$, при $t>\tau$

Это положения не облегчит, скорее ухудшит.

[Alhimik]

Ewert, не понял, что именно наоборот?
В монографии Харкевича "Спектры и анализ" сие утверждение приводится с доказательством путём интегрирования по частям и приравнивания в конце нулю $ \left f(t)e^{-i \omega t} \right |_{-\infty}^{+\infty} = 0$. И ссылается на то, что если функция представима интегралом Фурье, тогда её значения в бесконечности тоже нули $f(t)=0, \quad t \to \pm \infty$. Если дифферницировать $f_2(t)$ на интервале $(0; \tau)$ то никаких дельта-функций не наблюдаю. На счет концов интервала $t=0$ и $t= \tau$, то да, - функция изменяется там действительно очень быстро. А эти точки вообще надо рассматривать?

[ewert]

Alhimik в сообщении #463453 писал(а):

Ewert, не понял, что именно наоборот?

Пардон, это я перепутал.

Alhimik в сообщении #463453 писал(а):

Если дифферницировать $f_2(t)$ на интервале $(0; \tau)$

Не имеете права -- и интеграл, и производные надо брать именно по всей оси, это принципиально. В рамках классического анализа дифференцируемая функция разрывной быть не может, если же хочется -- придётся прибегнуть к аппарату обобщённых функций.

Alhimik в сообщении #463453 писал(а):

то да, - функция изменяется там действительно очень быстро. А эти точки вообще надо рассматривать?

А куда ж им деться. Мысленно сгладьте этот разрыв на маленьком участке -- у производной в этой окрестности возникнет пик. И при сужении участка этот пик как раз и будет вытягиваться в дельта-функцию.

[Alhimik]

Понял, в общем случае $\frac{df_2}{dt} \neq f_1(t)$. В таком случае следующий вопрос... Кто знает какой-нибидь пример, демонстрирующий это свойство?

[profrotter]

Alhimik в сообщении #463534 писал(а):

Кто знает какой-нибидь пример, демонстрирующий это свойство?

сообщение #461828

[Alhimik]

Классный пример. Спасибо. Тем более, что даже если брать преобразование в лоб, там тоже можно срезать за счет четности функции $p(x)$. Мнимая часть не наблюдается со страрту... А производная функции
$\frac {df_2}{dt} \begin{cases} =1, t \in [0; \tau) \\ = \infty, t = \tau \\ = 0, t \notin [0;\tau] \end{cases} $ В таком случае даже не знаю как правильно провести интегрирование:
$F \left [ \frac{df_2}{dt} \left] = \int\limits_0^{\tau - \varepsilon} e^{-i \omega t}dt + \int\limits_{\tau - \varepsilon}^{\tau + \varepsilon} \delta (t)e^{-i \omega t} dt, \quad \varepsilon \to 0 $.
Это оно?

[profrotter]

О дифференцировании функций с разрывами: сообщение #442428
Графики исходной функции и её производной (тут будет рисунок):

Выражение для производной:

$$f_d(t)= \begin{cases} 1, t \in [0; \tau] \\ 0, t \notin [0;\tau] \end{cases}-\tau \delta(t-\tau)$$

Далее учитываете свойство линейности преобразования Фурье и отдельно находите спекральную плотноcть для прямоугольной функции и для дельта-функции. Найденные спектры вычитаете. Спектральная плотность дельта-функции (и это легко показать с привлечением фильтрующего свойства дельта-фукнции) равна:

$$\delta(t-\tau)\leftrightarrow e^{-i \omega \tau}$$

[Alhimik]

На счет прямого преобразования дельта-функции согласен, а вот в обратном - полная развлекуха. Это что ж получается:
$\frac {1}{2\pi} \int\limits_{- \infty}^{+ \infty} e^{i \omega t} d \omega = \delta (t)$
То есть
$\int\limits_{- \infty}^{+ \infty} \left ( \cos {\omega t} + i \sin {\omega t} \right) dt = \left ( \frac{\sin {\omega t}}{\omega} - i \frac{\cos {\omega t}}{\omega} \right ) \bigg|_{- \infty}^{+ \infty} $.
Стало быть, $\\cos {\omega t} \bigg|_{- \infty}^{+ \infty} = 0 $ !!!!!
Ну, а $\frac {\sin {\omega t}}{\omega} \bigg|_{- \infty}^{+ \infty} = 2 \pi \delta (t) $ !!!
Что это еще за беспредел?

[ewert]

Alhimik в сообщении #464212 писал(а):

Что это еще за беспредел?

Этот предел называется теорией обобщённых функций. Там пределы в другом порядке берутся.

[Alhimik]

Кстати да, всё сошлось. Ошибка была в самом первом сообщении. По настоящему:
$F \left [f_1(t) \right ] + F \left [ \tau \delta (t - \tau ) \right ] = i \omega F [ f_2(t)]$. Вот так вот.

-- Сб июл 02, 2011 10:24:14 --

Интересно. А где можно подробнее почитать об этой теории обобщенных функций?

[Alhimik]

Т.е., пардон,
$F[f_1(t)] + F[- \tau \delta (t-\tau)] = i \omega F[f_2(t)]$.
$F[f_1(t)] - F[ \tau \delta (t-\tau)] = i \omega F[f_2(t)]$.

[profrotter]

Alhimik в сообщении #464212 писал(а):

Что это еще за беспредел?

Да тот самый беспредел, который учиняют те, кто начинает применять теорему о пределе суммы, не утруждая себя точным знанием её форумулировки.