Компактность подмножества в гильбертовом пространств

[FireFox]

Здравствуйте,

Есть такая задача, не могу пока разобраться как ее решать:
Дано:
\{u_n\} --- бесконечная ортонормированная система элементов в гильбертовом пространстве H.
Рассмотрим множество
Q = \{x| x = \sum c_n u_n,\,|c_n|<\frac{1}{n}\}

Доказать, что Q --- компакт.

------------------------------------------
Предполагаемое решение:

Допустим Q не компакт.

Тогда существует последовательность \{x_n\}, где x_n\in Q, такая что:
\exists\varepsilon\forall l\forall k:\quad ||x_k-x_l||>\varepsilon
(иными словами, существует последовательность \{x_n\}, в которой нет сходящей подпоследовательности).

Это означает, что вокруг каждой точки x_n мы можем описать \varepsilon-окрестность, не содержащую никакую другую точку этой последовательности.

ВНИМАНИЕ ВОПРОС:
По идее здесь мы должны прийти к противоречию.
Что-то вроде: а конечное число этих \varepsilon-окрестностей покрывает весь наш шар, т.е. точек должно быть конечное число - потому как бесконечное число точек негде разместить в такой конфигурации.

Вот тут и вопрос: как доказать что конечное число этих \varepsilon-окрестностей покрывает весь наш (единичный) шар?
Или предложенное решение совсем неверно??

Напомню: мы в бесконечномерном гильбертовом пространстве

Спасибо!

[Brukvalub]

FireFox писал(а):

...а конечное число этих \varepsilon-окрестностей покрывает весь наш шар...

Мне непонятно, о каком шаре тут идет речь.

[Руст]

Для образования эпсилон сети достаточно заметить, что можно точки брать с нулевыми координатами для высоких номеров, точнее $x_n=(x_n_1,x_n_2,...,x_n_N,0,0...), \ N=[\frac{2}{\epsilon }]+2.$ При этом обеспечивается, что за счёт старших номеров ошибка подкрадывается не больше epsilon/2 и остается выбрать эти точки в конечномерном (размерности N) пространстве так, чтобы они образовали эпсилон/2 сеть.

[RIP]

Может быть, $|c_n|\leqslant\frac1n$? Иначе Q незамкнуто