доказать интегральную формулу Коши

[Stotch]

Здоавствуйте,может кто-нибудь доказать ее,чтобы было понятно обьяснено и легко,просто в Боярчуке я смотрел там что-то невероятное.Заранее спасибо

[Trius]

Попробуйте почитать Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ

[ewert]

Stotch в сообщении #462904 писал(а):

Здоавствуйте,может кто-нибудь доказать ее,

Она вполне банально доказывается. К этому моменту уже известна теорема Коши -- о том, что интеграл по любому замкнутому контуру, внутри которого функция аналитична, равен нулю. Как следствие: если точка $z_0$ лежит внутри контура $\Gamma$ и $\gamma_{\varepsilon}$ -- окружность радиуса $\varepsilon$ с центром в этой точке, то интегралы по контуру и по окружности совпадают. Однако интеграл по окружности от константы $f(z_0)$ считается явно и равен именно тому, чему нужно, т.е $2\pi i\,f(z_0)$. А интеграл от разности $f(z)-f(z_0)$ стремится к нулю при $\varepsilon\to0$ просто из-за непрерывности функции $f$:

$$\left|\oint\limits_{\gamma_{\varepsilon}}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}\,dz\right|\leqslant\oint\limits_{\gamma_{\varepsilon}}\frac{|f(z)-f(z_0)|}{|z-z_0|}\,dl\leqslant\max\limits_{z\in\gamma_{\varepsilon}}|f(z)-f(z_0)|\cdot\frac{1}{\varepsilon}\cdot2\pi\varepsilon\mathop{\longrightarrow}\limits_{\varepsilon\to0}\to0$$

(второй интеграл -- просто обычный криволинейный интеграл от вещественной функции, и $2\pi\varepsilon$ -- это длина окружности). Т.е. формально этот интеграл стремится к нулю; фактически же он от $\varepsilon$ не зависит. Ну так значит он попросту равен нулю, вот и всё.

[Stotch]

Спасибо