уравнение движения маятника в декартовых координатах

[Artch]

Можно ли вывести уравнение движения нитяного маятника не на окружности а через координаты x y? Если можно, то как?

[Аурелиано Буэндиа]

Artch писал(а):

Можно ли вывести уравнение движения нитяного маятника не на окружности а через координаты x y? Если можно, то как?

Можно, но будет более громоздко. Выбор полярных координат приводит к более простой записи уравнений движения. В декартовых координатах принцип решения такой же как в полярных (например, через 2-ой закон Ньютона или через уравнения Лагранжа со связью).

[Artch]

дело в том, что мне нужно программно описать маятник, но моделирование не подходит, нужна реалистичная физика.Это связано с тем, что мне нужен маятник обладающий некой интерактивностью: маятник прикреплен не к неподвижной точке, а к точке имеющей ускорение, т.е. силу тяги. При ускорении этой точки, груз должен соответственно принимать угол по инерции, в зависимости от направления и значения ускорения.

[Аурелиано Буэндиа]

Artch писал(а):

но моделирование не подходит, нужна реалистичная физика.

Что значит реалистичная физика и что значит моделирование не подходит? Любая физика работает с моделями. Одни модели более реалистичны другие менее. Если можно, опишите здесь ту модель, которую Вы хотите запрограмировать (включая уравнения движения).

Artch писал(а):

При ускорении этой точки, груз должен соответственно принимать угол по инерции, в зависимости от направления и значения ускорения.

Ускорение постоянное?

[Artch]

Цитата:

Что значит реалистичная физика и что значит моделирование не подходит?

Извиняюсь, я имел в виду что программно можно описать физическое явление двумя методами:
1.С помощью существующих физических законов.
2.С помощью языка программирования создать видимость реалистичной физики, которая визуально воспринималась бы как реальная. Такой метод используется при создании аркадных игр. Например свободное падение тела можно задать таким алгоритмом

y=y-y^2

где y - координата тела по вертикали. Это выглядит натурально, хотя не отвечает физ. законам.

Цитата:

Ускорение постоянное?

ускорение будет расчитываться как сумма сил, приложеных к точкекрепления маятника, деленная на массу груза (a=F/m).
F=Сила тяги + mg + прочие силы
ускорение непостоянно т.к. сила тяги, приложеная к точке будет непостоянна.

[Аурелиано Буэндиа]

Понятно. Мне кажется, что в первом приближении эту задачу можно решать так:
1) Рассмотрим маятник в ускоренной системе отсчета.
2) Расписываем суммарный момент $M$ всех сил (натяжения, тяжести, инерции) относительно точки подвеса
3) подставляем в $ml^2\ddot{\phi}=M$, где $l$ -- длина нити, а $m$ -- масса груза

вот Вам и уравнение движения. Теперь осталось только перейти в инерциальную систему отсчета

[$]

Artch писал(а):

дело в том, что мне нужно программно описать маятник, но моделирование не подходит, нужна реалистичная физика.Это связано с тем, что мне нужен маятник обладающий некой интерактивностью: маятник прикреплен не к неподвижной точке, а к точке имеющей ускорение, т.е. силу тяги. При ускорении этой точки, груз должен соответственно принимать угол по инерции, в зависимости от направления и значения ускорения.

Действительно, как тут уже отметили громоздко получится. Можно конечно не поленится и вывести. Но поскольку речь идет о компьютерном моделировании, то можно сделать например так

• "входные" данные преобразовывать из декартовых в полярную систему координат
• в полярной системе считать что нужно
• переходить назад к декартовой системе

В полярной системе ур-е движения "просто маятника"

\[ \ddot \varphi = - \frac{g} {R}\sin (\varphi ) \]

(существенно что уравнение нелинейное).

Цитата:

маятник прикреплен не к неподвижной точке, а к точке имеющей ускорение, т.е. силу тяги.

А подробнее? Перемещается точка подвеса маятника или только меняется длина "нитки" ? В последнем случае на эту тему чего то накопали в механике, "параметрические колебания" называется (на таком принципе дети раскачиваются на качелях, это "параметрическая генерация", как то так называется).

А вот если сама точка подвеса движется, то эту задачу можно свести к задаче колебаний маятника при наличии вынуждающей силы (для этого придется перейти в систему координат, где точка подвеса неподвижна (неинерциальная система), тогда ускорения точки подвеса можно "упрятать" в вынуждающую силу- будет что то вроде

\[ \ddot \varphi = - \frac{g} {R}\sin (\varphi ) + M \]

). А вот потом придется таки опять кооординаты назад пересчитывать. Может действительно тогда проще численно сразу решать дифур в декартовой СК. Мне думается, что и в этом случае проще выводить соответствуюшие уравнения движения в СК где точка подвеса недодвижна, а ее двидение учитывается как "сила инерции". Потом просто перейти назад в исходную с.к. (на "бумаге").

Если идти напрямую- то это система с 6-ю степенями свободы (координаты двух точек) где наложены "связи"(так кажется это называется- это расстояние между точками неизменно). Как выводить уравнения движения в этом случае написал доходчиво Ландау (в учебнике по классической механике, как он точно называется забыл).

Добавлено спустя 8 минут 6 секунд:

Аурелиано Буэндиа писал(а):

Понятно. Мне кажется, что в первом приближении эту задачу можно решать так:
1) Рассмотрим маятник в ускоренной системе отсчета.
2) Расписываем суммарный момент $M$ всех сил (натяжения, тяжести, инерции) относительно точки подвеса
3) подставляем в $ml^2\ddot{\phi}=M$, где $l$ -- длина нити, а $m$ -- масса груза

вот Вам и уравнение движения. Теперь осталось только перейти в инерциальную систему отсчета

Что то в вашем уравнении $ml^2\ddot{\phi}=M$, не хватает. Или вы в М все "спрятали" ,включая действие силы тяжести? Тогда ваше М зависит от угла. Просто не вижу привычного

\[ \sin (\varphi ) \]

. В таком случае пояснения автору темы: в моем комментарии М зависить только от движения точки подвеса, а в комментарии Аурелиано Буэндиа в М "упрятано" все, включая действие силы тяжести (которое зависит от угла отклонения этим "привычным" \[ \sin (\varphi ) \])

[Аурелиано Буэндиа]

$ писал(а):

Может действительно тогда проще численно сразу решать дифур в декартовой СК

Уверен, что не проще. Что-то Artch ушел в глубокое раздумье... Artch, если у Вас все-таки получится запрограммировать такой маятник, то расскажите, в этой теме о результатах своего моделирования.

$ писал(а):

Или вы в М все "спрятали" ,включая действие силы тяжести? Тогда ваше М зависит от угла

Разумется, зависит. А как же еще?

[$]

Аурелиано Буэндиа писал(а):

$ писал(а):

Может действительно тогда проще численно сразу решать дифур в декартовой СК

Уверен, что не проще. Что-то Artch ушел в глубокое раздумье... Artch, если у Вас все-таки получится запрограммировать такой маятник, то расскажите, в этой теме о результатах своего моделирования.

Может оказатся максимум на полчаса раздумий, включая ознакомление с механикой от Ландау. Я вспомнил, там все замечательно расписано, как выводить уравнения движения, и есть раздел по системам где "связаны" координаты. К сожалению Ландау мезаники нет под рукой, чтобы там оглавление глянуть.

Добавлено спустя 6 минут 6 секунд:

http://lib.chistopol.ru/?id=15511&page=4

Вроде вот она, механика от Ландау.

Добавлено спустя 8 минут 2 секунды:

Аурелиано Буэндиа вы правы, у меня кусок с М тоже будет зависеть от угла. Так что нет смысла никакого этот синус угля выделять в отдельное слагаемое.

И если речь идет о матмоделировании на компьютере, точка подвеса вообще то может перемещатся по всем 3 осям, тогда наши рассуждения с углом просто некуда применить (при выводе заведомо предполагается, что маятник колеблется в одной плоскости, а при движении по 3 осям точки подвеса вряд ли это условие будет выполнятся ). Только напрямую выводить уравнения движения.

[Artch]

$ писал(а):

А подробнее? Перемещается точка подвеса маятника или только меняется длина "нитки" ?

Перемещается точка подвеса. нитка не может деформироваться, т.е. вместо нитки твердый стержень. Кстати система двухмерная, поэтому степеней свободы 4.(?).

[$]

Цитата:

поэтому степеней свободы 4.(?).

но независимых только 3 получется. Это, мягко говоря, нестандартный маятник, у которого одна (независимая) степень свободы.

Как свести к задаче про обычный маятник с вынуждающей силой написано выше (рассмотреть СК где точка подвеса неподвижна, ее ускорения тогда войдут в "силы инерции", которые войдут в выражение для момента сил). Еще можно попробовать Ландау "теоретическую мезанику" разделы о системах со многими степенями свободы. Там, если я не путаю, ловко выводятся уравнения движения через гамильтониан (уже про него ничего не помню )