Интеграл

[vlad_light]

Помогите решить интеграл
$\int\limits_0^\infty \frac{z^{\sqrt{2}}}{(z+1)(z^2+4)}dz$
Кстати, так сразу не понимаю, почему интеграл $\int\limits_0^\infty \frac{z^{\sqrt{2}}}{(z-1)(z^2+4)}dz$ - расходится.
Для начала, как я понял, нужно перейти к интегралу по $(-\infty ;+\infty)$. Как это сделать - пока не понимаю.
Допустим, сделал. Рисую какой-то контур, например, два полукруга с центрами в точке $-1$ и радиусами $\epsilon$ и $R$(где в будущем $\epsilon$ будет стремиться к 0, а $R$ - к бесконечности, чтоб при предельном переходе, внутренностью нашего контура стала вся верхняя полуплоскость), которые соеденю отрезками $[-R;-\epsilon]$ и $[\epsilon ;R]$. Наша функция(подынтегральная) будет голоморфной в нашем контуре (внутри), за исключением одной точки: $2i$.
Как её убрать, чтоб можно было записать наш интеграл в виде суммы интегралов по контуру?
Дальше рассуждать не буду, поскольку не уверен, что я на правильном пути. Пожалуйста, ответьте по-быстрее! Спасибо!

[Someone]

vlad_light в сообщении #461981 писал(а):

Для начала, как я понял, нужно перейти к интегралу по $(-\infty ;+\infty)$.

Не надо, и так хорошо.

vlad_light в сообщении #461981 писал(а):

Рисую какой-то контур, например, два полукруга с центрами в точке $-1$ и радиусами $\epsilon$ и $R$(где в будущем $\epsilon$ будет стремиться к 0, а $R$ - к бесконечности

Разрезаем плоскость по положительной части оси $Ox$ от $0$ до $\infty$. Выбираем числа $r$ и $R$, $0<r<1$, $R>2$. Строим контур из: верхнего берега разреза от ($r$ до $R$), окружности $|z|=R$ (против часовой стрелки), нижнего берега разреза (от $R$ до $r$), окружности $|z|=r$ (по часовой стрелке).

vlad_light в сообщении #461981 писал(а):

Кстати, так сразу не понимаю, почему интеграл $\int\limits_0^\infty \frac{z^{\sqrt{2}}}{(z-1)(z^2+4)}dz$ - расходится.

Бесконечный разрыв в промежутке интегрирования. Правда, можно искать главное значение.

[Полосин]

Воспользуйтесь интегралами $\int\limits_0^{+\infty}\dfrac{x^{p-1}dx}{x-1}$ и $\int\limits_0^{+\infty}\dfrac{x^{p-1}dx}{x+1}\, (0<\operatorname{Re} p<1)$.

[vlad_light]

(Оффтоп)

стёрто

[Someone]

vlad_light в сообщении #461991 писал(а):

Если я вас правильно понял

Если Вы отвечаете мне, то поняли Вы меня совершенно превратно.

[vlad_light]

Поясните по-подробнее, пожалуйста!

[Someone]

Я всё написал подробно. Вы сравните то, что я написал, с тем, что Вы сочинили. Я говорил о положительной части действительной оси, у Вас почему-то мнимая. У меня - две окружности, у Вас откуда-то выскочили два полукруга. Я говорил о верхнем и нижнем берегах разреза, а у Вас это где?
Почитайте учебник по ТФКП, там наверняка о таких интегралах что-нибудь есть.
Решать за Вас задачу правила форума запрещают.

[vlad_light]

Перерисовал:)
Получается, что наша подынтегральная ф-ция голоморфна в этой области, за исключением точек $\pm 2i, -1$.
Дальше (никогда такого не делал, но осмелюсь предположить) с помощью корня преобразовать наш контур в верхнюю полуплоскость. Тогда наши особые точки перейдут в соответствующие и интеграл будет равен сумме вычетов по "новым" точкам. Так правильно?

(Оффтоп)

Прошу прощения за предыдущее сообщение. Написал не подумав

[Someone]

vlad_light в сообщении #462002 писал(а):

Так правильно?

Нет. Ничего преобразовывать не надо. Надо разобраться, как связаны интегралы по верхнему и нижнему берегам разреза (они не одинаковые), и что происходит с каждым из 4 интегралов (по двум отрезкам и двум окружностям), когда $r\to 0^+$ и $R\to+\infty$.

Ю.В.Сидоров, М.В.Федорюк, М.И.Шабунин. Лекции по теории функций комплексного переменного. "Наука", Москва, 1976.

Там в § 28, пункт 4, подобные интегралы разбираются.