Теория групп

[Yakov]

Как проще всего (с вычислительной точки зрения) можно доказать, что кватернионная группа $\{1,-1,i,-i,j,-j,k,-k\}$ не является подгруппой в $S_7$ - группе перестановок множества из 7 элементов?

[JMH]

По теореме Кэли Ваш группа явлается подгруппой $S_8$, а также, порядки $S_7$ и $S_8$ взаимно просты; далее нужно заметить. что порядок подгруппы всегда является делителем порядка группы.

[patzer2097]

JMH в сообщении #461945 писал(а):

порядки $S_7$ и $S_8$ взаимно просты

что Вы, порядок $S_n$ равен $n!$

-- Пт июн 24, 2011 22:13:08 --

От противного, преположим, что перестановки $i$ и $j$ из $S_7$ порождают подгруппу, изоморфную кватернионам. Порядки $i$ и $j$ равны $4$, поэтому в разложениях в произведение независимых циклов $i$ и $j$ будут циклы длины $4$. Не ограничивая общности, $i=(4567)$ или $i=(4567)\sigma$, где $\sigma$ --- транспозиция из $S_3$. Поскольку $i^2=j^2$, для $j$ возможны четыре варианта: $j=(4567)\tau$, $j=(4765)\tau$ ($\tau$ --- транспозиция из $S_3$), или $j=(4567)$, или $j=(4765)$. В каждом из этих случаев перестановка $k=ij$ имеет порядок $1$, $2$ или $6$. Противоречие.