Помогите взять интеграл Фурье (Фурье ли?)

[farewe11]

Доброе утро. У меня есть один интеграл, и процесс его взятия вызывает сильные сомнения, вот такой:

$$ \int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{itx} \cdot p(x) dx $$

Функция $p(x)$ выглядит так:

$$ p(x) = \begin{cases} \alpha(1-\alpha\cdot |x|), |x|\leq\alpha^{-1}\\ 0, |x|>\alpha^{-1} \end{cases} $$

Учитывая область значений функции $p(x)$, можем переписать интеграл в такой вид:

$$\alpha\cdot\int\limits_{-\alpha^{-1}}^{\alpha^{-1}} e^{itx}\cdot (1-\alpha\cdot |x|) dx$$

И на этом - всё. Не знаю, что с ним делать дальше. Может, и не нужно к такому виду приводить - а тогда как его брать? )

[AD]

Раскрыть модуль ...

[farewe11]

Допустим. Запишем интеграл как сумму двух интегралов:

$$ \alpha\int\limits_{-\alpha^{-1}}^{\alpha^{-1}} e^{itx} \cdot (1-\alpha\cdot |x|)dx = \alpha(\int\limits_{-\alpha^{-1}}^0 e^{itx} \cdot (1-\alpha x) dx + \int\limits_0^{\alpha^{-1}} e^{itx}\cdot (1+\alpha x) dx) $$

После этого в каждом интеграле можно скобки раскрыть и тоже записать как 2 интеграла, а потом уж смотреть, что вышло.. Правильной дорогой я иду?

[AD]

Цитата:

Правильной дорогой я иду?

Благословляю двигаться дальше (:

-- Пт июн 24, 2011 10:17:15 --

Кстати, скобочки нынче модно писать вот так:

$$\alpha\left(\int\limits_{-\alpha^{-1}}^0 e^{itx} \cdot (1-\alpha x) dx + \int\limits_0^{\alpha^{-1}} e^{itx}\cdot (1+\alpha x) dx\right)$$

\left( ... \right)

[profrotter]

Разные бывают правильные дороги: есть тяжёлые, есть лёкгие, есть длинные, есть короткие...
Заданную функцию переписываем в виде:

$$ p(x) = \begin{cases} \alpha(1+\alpha\cdot x), -\alpha^{-1}\leq x\leq 0\\ \alpha(1-\alpha\cdot x), 0\leq x\leq\alpha^{-1}\\ 0, |x|>\alpha^{-1} \end{cases} $$

2. Рассматриваем её производную:

$$ p'(x) = \begin{cases} \alpha^2, -\alpha^{-1}\leq x\leq 0\\ -\alpha^2, 0\leq x\leq\alpha^{-1}\\ 0, |x|>\alpha^{-1} \end{cases} $$

3. Находим преобразование Фурье от производной (интегралы будет легко считать) $\theta_d(t)$
4. С учётом теоремы дифференцирования для преобразования Фурье находим результат:

$$\theta(t)=\frac {\theta_d(t)} {i\omega}$$

[farewe11]

Всплывает такой вопрос: равны ли следующие интегралы?

$$\int\limits_{-\alpha^{-1}}^{0}e^{itx}xdx$$

и

$$\int\limits_{0}^{\alpha^{-1}}e^{itx}xdx$$

-- Пн июл 04, 2011 01:47:11 --

profrotter в сообщении #461828 писал(а):

4. С учётом теоремы дифференцирования для преобразования Фурье находим результат:

$$\theta(t)=\frac {\theta_d(t)} {i\omega}$$

Вот последнее действие тоже не совсем понял. Что, просто разделить полученную производную на $i\omega$?

[--mS--]

(Оффтоп)

AD в сообщении #461766 писал(а):

Благословляю двигаться дальше (:

И зря, ибо это очередной дубликат уже открытой темы topic47096.html, о недопустимости чего автора уже предупреждали тут: post464016.html#p464016...
Видите, таким образом автор добивается того, что с минимальными усилиями получает решение своей задачи. В той теме потребовалось что-то делать самому, вот тема и потухла. Открыл ТС новую - а в этой уже profrotter всё и сделал. Благо ТС не понял...

[farewe11]

(Оффтоп)

Вообще-то нет. Лично с Вашей помощью и пинками я сделал (сделал все же, а не решение получил..) почти всю первую задачу про производящие функции, теперь пытаемся найти ковариацию - последний шаг.
Я не дублировал темы, а исправлял таким образом свою оплошность: 2 задачи в одну тему налепил. Просто обычно это не приводит к толковому результату, лучше все-таки каждую задачу решать в своей теме. Так что это никоим образом не относится к "получению решения своей задачи" путём дублирования тем. Обидно же:)

[--mS--]

farewe11 в сообщении #464927 писал(а):

(Оффтоп)

Обидно же:)

Чтобы не было обидно, во-первых, вычислите свои интегралы наконец. Те два интеграла по симметричным участкам друг другу не равны - ни по модулю, никак. Считать нужно каждый. Не должно возникать проблем при интегрировании элементарной функции $xe^{cx}$. По частям, например. Считайте мнимую единицу константой, если она смущает.

Во вторых, прочтите внимательно всё сообщение от profrotter. Выполните п.3, и только затем п.4. Сравните полученные ответы.

[farewe11]

Сделаем преобразование Фурье над производной.

$$ p'(x) = \begin{cases} \alpha^2, -\alpha^{-1}\leq x\leq 0\\ -\alpha^2, 0\leq x\leq\alpha^{-1}\\ 0, |x|>\alpha^{-1} \end{cases} $$

$$\theta(t) = \frac{1}{2\pi} \int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{-ixt} p'(x) dx$$

$$ \theta(x) = \begin{cases} \frac{e^{ \frac{it}{\alpha} }-1}{it}, -\alpha^{-1}\leq x\leq 0\\ processing..., 0\leq x\leq\alpha^{-1}\\ 0, |x|>\alpha^{-1} \end{cases} $$

Правильнл ли делаю?

[ewert]

farewe11 в сообщении #465353 писал(а):

$$ \theta(x) = \begin{cases} \frac{e^{ \frac{it}{\alpha} }-1}{it}, -\alpha^{-1}\leq x\leq 0\\ processing..., 0\leq x\leq\alpha^{-1}\\ 0, |x|>\alpha^{-1} \end{cases} $$

Правильнл ли делаю?

Неправильно, конечно. И дело даже не в том, что формула неверна (это уже после). Для начала хоть разберитесь, где у Вас $x$, а где $t$.

[farewe11]

Да это опечатка. $\theta(t)$, конечно, а не $\theta(x)$. Можно теперь поподробнее про "формула неверна" ?

[--mS--]

А давайте, Вы ответ без опечаток напишете? Что за интеграл ищете, и что вышло.