Оценки для одного минимума

[arqady]

Пусть $a$, $b$ и $c$ данные положительные числа. Докажите, что

$$\frac{4}{3}\sqrt[3]{abc}-\frac{a+b+c}{9}\leq\min_{xy+xz+yz=1}(ax^2+by^2+cz^2)\leq\sqrt[3]{abc}$$

[nnosipov]

Левая оценка не всегда содержательна (величина слева может быть отрицательной). И имеется в виду именно $\min$, а не $\inf$?

[arqady]

nnosipov в сообщении #461727 писал(а):

Левая оценка не всегда содержательна (величина слева может быть отрицательной).

Главное, что верна! Мы по жизни делаем так много несодержательного, но ведь живём же... Ваше это высказывание, например (или это моё), из той же оперы! А неравенство тем временем стоит недоказанным...

nnosipov в сообщении #461727 писал(а):

И имеется в виду именно $\min$, а не $\inf$?

Как Вам угодно!

[nnosipov]

Я понимаю, что вопрос непростой. Но всегда хочется оценить поточнее. Может, и в данном случае это возможно? Интересно, а сам $\min$ возможно ли как-то разумно выразить через $a$, $b$, $c$?

[arqady]

nnosipov в сообщении #461778 писал(а):

Интересно, а сам $\min$ возможно ли как-то разумно выразить через $a$, $b$, $c$?

Можно! Это корень уравнения $m^3+(a+b+c)m^2-4abc=0$.
Там выражение некрасивое получается. Оценки выглядят симпатичнее.