Факторгруппы

[JMH]

Нужно доказать, что факторгруппа симметрической группы $S_4$ по четверной группе Клейна $K_4=\{(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23)\}$ изоморфна симметрической группе $S_3$, т.е., что $S_4/K_4\cong S_3$.
Это доказывается тривиально, если воспользоваться теоремой Кэли (любая группа является подгруппой группы перестановок множества элементов этой группы) и заметить, что $|S_4/K_4|=|S_3|=6$. Проблема состоит в том, что теорема Кэли предполагается неизвестной, так что вопрос следующий: как доказать утверждение без прямого нахождения смежных классов и непосредственной проверки умножениями?

[VAL]

Я бы рассуждал так. В $S_4/K_4$ 6 элементов. А шестиэлементных групп всего две: циклическая и изоморфная $S_3$ (*). Циклической наша факторгруппа быть не может, так ка элементов порядка 6 нет даже в $S_4$ и, тем более, в $S_4/K_4$.

Правда, если (*) тоже надо обосновывать, доказательство удлинится. И непосредственная проверка будет не сложнее чем приведенное рассуждение.

[JMH]

Спасибо, отличное рассуждение! Правда, как Вы заметили, (*) придётся обосновать, но это уже отдельный вопрос, попробую поискать в книгах, хотя бы в том же самом Каргаполове - Мерзлякове.
Полагаю ван дер Варден поместил эту задачку в своей книге именно для того, чтобы читатель самостоятельно обнаружил либо теорему Кэли, либо существование всего двух шестиэлементных групп :)