Условия существования для задачи Коши

[Ivan123]

Здравствуйте! Прошу помочь разобраться в следующей задаче:
Задание: Проверить, что условия теоремы о локальном существовании и единственности решения задачи Коши выполняются для примера $y^/_t=Fy^2$, $y|_{t=0}=y_0$, который имеет решение $y(t)=\frac{y_0}{1-tFy_0}$.
Условие локального E1 для задачи Коши: Пусть Fє$C^0([t_0,T]*C^n)^n$ и $|F(t,y_1)-F(t,y_2)|\le\L(y_1,y_2)|y_1-y_2|$ для tє$(t_0,T)$ и $y_1,y_2$ є $C^n$, где $L(y_1,y_2)$ - есть равномерно ограниченной на ограниченіх множествах (Локальное условие Липшица), то есть для каждого с>0 $L^/=sup\L(y_1,y_2)<inf$ при $|y_1|<2c$, $|y_2|<2c$.
Мои размышления:
Думаю нужно проверить условия Липшица, найти константу и тогда условия будут выполнятся.

[Ivan123]

Я так понял, что нужно проверить условия Липшица, те
$\left| {F(t,y_1 ) - F(t,y_2 )} \right| \le L(y_1 ,y_2 )\left| {y_1 - y_2 } \right|$

$\left| {F(t,y_1 ) - F(t,y_2 )} \right| = \left| {{{y_0 } \over {1 - t_1 Fy_0 }} - {{y_0 } \over {1 - t_2 Fy_0 }}} \right| = $
$ = \left| {{{y_0 ((1 - t_2 Fy_0 ) - (1 - t_1 Fy_0 ))} \over {(1 - t_1 Fy_0 )(1 - t_2 Fy_0 )}}} \right| = $
$ = \left| {{{Fy_0^2 (t_1 - t_2 )} \over {(1 - t_1 Fy_0 )(1 - t_2 Fy_0 )}}} \right|$

Значит, условия Липшица выполняются с константой $L = Fy_0^2 $ ?

[Ivan123]

Кто-нибудь может мне помочь в этом вопросе?

[Vince Diesel]

Для локальной разрешимости достаточно непрерывности $F(t,y)$ по $(t,y)$ и непрерывной дифференцируемости по $y$. Из последней вытекает локальная липшицевость $F$ по второму аргументу по теореме о среднем.