Метод математической индукции

[Sverest]

1) Доказать методом математической индукции
$n^3+11n$ делится на $6$

базис
$1^3+11 \cdot 1=12$ верно
предположим $n=k$
$k^3+11k$
$(k^3+11k)=6m \quad m \in N$
проверим $ k+1$
$(k+1)^3 +11(k+1)=k^3+11k+3k^2+3k+11+1$
$6m+3k^2+3k+12=3(3m+k^2+k+6)=6(m+\frac{1}{2}k^2+\frac{1}{2}k+3)$
так можно проверить?


2) Доказать методом математической индукции

$\frac{1}{1 \cdot 10}+\frac{1}{10 \cdot 19}+\frac{1}{19 \cdot 28}+...+\frac{1}{(9n-8)(9n+1)}$

$=\frac{n}{9n+1}$

проверим базис

$\frac{1}{(9(1)-8)(9(1)+1)}=\frac{1}{9(1)+1}$

$\frac{1}{(1)(10)}=\frac{1}{10}$

предположим $n=k$

$\frac{1}{1 \cdot 10}+\frac{1}{10 \cdot 19}+\frac{1}{19 \cdot 28}+...+\frac{1}{(9k-8)(9k+1)}$

$=\frac{k}{9k+1}$

проверим $k+1$

$\frac{1}{1 \cdot 10}+\frac{1}{10 \cdot 19}+\frac{1}{19 \cdot 28}+...+\frac{1}{(9k-8)(9k+1)}$

$+\frac{1}{(9(k+1)-8)(9(k+1)+1)}=\frac{k+1}{9(k+1)+1}$

$\frac{k}{9k+1}+\frac{1}{(9k+1)(9k+10)}=\frac{k(9k+1)+1}{(9k+1)(9k+10)}$

$=\frac{9k^2+10k+1}{(9k+1)(9k+10)}$

Как дальше делать?

[Gortaur]

12 делится на $6$, $k^2+k$ делится на 2.

Во втором просто равенство должно получиться. Найдите корни числителя и разложите его на скобки.

[profrotter]

1) Отдельно доказать, что $3k^2+3k$ делится на 6.
2)Привести к общему знаменателю и смотреть равны ли дроби.

[Sverest]

а как числитель разложить он же не в виде $x^2+px+q$

[Gortaur]

Sverest
Вообще, $ax^2+px+q = a(x-x_1)(x-x_2)$ где $x_1,x_2$ - корни уравнения $ax^2+px+q$.

[Sverest]

ну а числитель то в виде $ax^2+px+q$

[myra_panama]

Sverest в сообщении #460712 писал(а):

ну а числитель то в виде $ax^2+px+q$

не раскроя скобки ....
$\frac1{(9n-8)(9n+1)}=\frac19\frac{9n+1-9n+8}{(9n-8)(9n+1)}=\frac19(\frac1{9n-8}-\frac1{9n+1})$

-- Вт июн 21, 2011 15:43:50 --

далее подставите n=1,2,3,... и сложите все ..()

[Gortaur]

Sverest
не заметил Ваше "не" сначала. Поправил свой пост - $a$ влияния особого не оказывает.

[myra_panama]

Sverest в сообщении #460692 писал(а):

$\frac{9k^2+10k+1}{(9k+1)(9k+10)}$

как бы можно ${9k^2+10k+1}=9(k+?)(k+??)$

[Sverest]

$9(k+1)(k+\frac{1}{9})$ как раз все хорошо сократится, интересно как такие примеры выдумывают, специально как то расчитывают, что ли

[Gortaur]

Sverest
Вы не поверите... никогда не замечали, что в школе дискриминант нередко полным квадратом оказывается - особенно когда только начинают проходить квадратные уравнения?