Топология, порождённая преднормой

[MaximVD]

Встретилось такое упражнение, что-то никак не могу его сделать:
Пусть $E$ - комплексное линейное пространство и на нём задана топология. Пусть существует множество $U \subset E$, которое удовлетворяет следующим свойствам:
1) $U$ является выпуклым, уравновешенным (т.е. для всех $\lambda \in \mathbb{C}$, $| \lambda | \le 1$ из того, что $x \in U$ следует, что $\lambda x \in U$) и поглощающим (т.е. для любого $x \in E$ найдётся $\alpha > 0$, что $x / \alpha \in U$).
2)совокупность множеств $x + t U = \{ x + t y \mid y \in U \}$, $x \in E$, $t > 0$, образует базу топологии.
Требуется доказать, что существует преднорма, которая порождает заданную топологию. При этом в качестве преднормы предлагается использовать калибровочную функцию Минковского $p_U(x) = \inf \{ t > 0 \mid x / t \in U \}$.

Поскольку множество $U$ выпукло, уравновешенно и поглощающе, то легко проверяется, что калибровочная функция Минковского - это преднорма. То, что топология порождённая функцией Минковского не сильнее исходной топологии, следует из включения $x + t U \subset \{ y \in E \mid p_U( x - y ) < 2t \}$, а вот то, что исходная топология не сильнее топологии порождённой функцией Минковского доказать не удаётся.

Есть такая идея. Если для любого $x \in E$ множество $\{ t > 0 \mid x / t \in U \}$ открыто, то нетрудно показать, что $U = \{ x \in E \mid p_U(x) < 1\}$, т.е. множество $U$ совпадает с открытым единичным шаром, а тогда очевидно, что все множества $x + t U$ открыты в топологии, порождённой функцией Минковского, из чего и следует требуемое утверждение.
Но мне не удаётся доказать, что множества $\{ t > 0 \mid x / t \in U \}$ открыты (поэтому возникает вопрос - верно ли это?).

Буду рад любым подсказкам.

[alcoholist]

MaximVD в сообщении #460426 писал(а):

$\{ t > 0 \mid x / t \in U \}$

Это -- подмножество вещественной прямой.

Покажите, что любое открытое множество вместе с любой своей точкой содержит шар преднормы и что любой шар преднормы открыт.