Распределение функции от случайной величины

[re3burn]

Хорошо, разобрался с этой задачей. Всем большое спасибо за оказанную поддержку и подсказки)

-- Вс июн 19, 2011 17:19:03 --

Вот есть еще похожая задача.
Случайная величина $\xi$ имеет равномерное распределение на отрезке $[0;2]$.
Найти функцию распределения случайной величины $\eta=min\{\xi, 1\}$.
Я так понимаю в данной задаче для кусочно-постоянной функции на отрезке $[1;2]$ можно применить похожие рассуждения.

[--mS--]

Здесь нет кусочно-постоянной функции.

Вы приведёте определение функции распределения наконец, или так и нет?

[re3burn]

--mS-- в сообщении #459834 писал(а):

Здесь нет кусочно-постоянной функции.

Вы приведёте определение функции распределения наконец, или так и нет?

Как же нет: если построить функцию $\eta=min(\xi, 1)$, то на отрезке [1;2] постоянная функция y=1?

А в первой задаче у меня получилась функция распределения такая:
$ F_{\eta}(x)=\begin{cases} 0,&\text{$x$\in$(-$\infty$;-2),}\\ 0.25,&\text{$x$\in$[-2;0],}\\ 1,&\text{$x$\in$(0;+$\infty$).} \end{cases} $

-- Вс июн 19, 2011 18:42:19 --

А вот во второй задаче задаче у меня получилась функция распределения, по-видимому, дискретно-непрерывного типа:
$ F_{\eta}(x)=\begin{cases} 0,&\text{$x$\in$(-$\infty$;0),}\\ 0.5x,&\text{$x$\in$[0;1],}\\ 0.5,&\text{$x$\in$(1;2],}\\ 1,&\text{$x$\in$(2;+$\infty$).} \end{cases} $
Это правильно?

[--mS--]

re3burn в сообщении #459856 писал(а):

Как же нет: если построить функцию $\eta=min(\xi, 1)$, то на отрезке [1;2] постоянная функция y=1?

На отрезке $[0; 1)$ тоже постоянная?

re3burn в сообщении #459856 писал(а):

А в первой задаче у меня получилась функция распределения такая:
$ F_{\eta}(x)=\begin{cases} 0,&\text{$x$\in$(-$\infty$;-2),}\\ 0.25,&\text{$x$\in$[-2;0],}\\ 1,&\text{$x$\in$(0;+$\infty$).} \end{cases} $

Это не функция распределения, т.к. не устраивает обязательным свойствам функций распределения. Приведите наконец определение функции распределения случайной величины! Это так трудно?

re3burn в сообщении #459856 писал(а):

А вот во второй задаче задаче у меня получилась функция распределения, по-видимому, дискретно-непрерывного типа:
Это правильно?

В зависимости от того, какое было определение функции распределения: при одном варианте - да, при другом - нет.
Этот тип распределения обычно называют смешанным. В данном случае - да, он смешан из дискретного и абсолютно непрерывного распределений.

[PAV]

re3burn в сообщении #459856 писал(а):

А вот во второй задаче задаче у меня получилась функция распределения, по-видимому, дискретно-непрерывного типа:
$F_{\eta}(x)=\begin{cases} 0,&\text{$x$\in$(-$\infty$;0),}\\ 0.5x,&\text{$x$\in$[0;1],}\\ 0.5,&\text{$x$\in$(1;2],}\\ 1,&\text{$x$\in$(2;+$\infty$).} \end{cases}$
Это правильно?

Вообще-то по-любому неправильно. Минимум из чего-то и единицы всегда не превосходит единицы, поэтому Ваше 0.5 на интервале $(1;2]$ заведомо неверно.

[re3burn]

--mS--, что Вы имеете ввиду под определением функции распределения: надо решение что ли привести?
Просто не совсем понятно, что конкретно надо) Неоднозначно истолковать можно)

[--mS--]

re3burn в сообщении #459926 писал(а):

Неоднозначно истолковать можно)

Слово "определение" не может пониматься неоднозначно. Пусть есть случайная величина $\zeta$. Функцией распределения величины $\zeta$ называется функция $F_\zeta(x)=?$

PAV в сообщении #459923 писал(а):

Вообще-то по-любому неправильно.

О, это я не заметила, что скачок где попало :)

[Joker_vD]

re3burn в сообщении #459926 писал(а):

--mS--, что Вы имеете ввиду под определением функции распределения: надо решение что ли привести?
Просто не совсем понятно, что конкретно надо) Неоднозначно истолковать можно)

Вот представьте себе — приходите вы на экзамен по теорверу. Отвечаете билет, и экзаменатор начинает вам задавать дополнительные вопросы. Первый его вопрос: "Хорошо... а приведите-ка определение функции распределения". Вы: "Что вы имеете ввиду под определением функции распределения?"

[re3burn]

PAV в сообщении #459923 писал(а):

re3burn в сообщении #459856 писал(а):

А вот во второй задаче задаче у меня получилась функция распределения, по-видимому, дискретно-непрерывного типа:
$F_{\eta}(x)=\begin{cases} 0,&\text{$x$\in$(-$\infty$;0),}\\ 0.5x,&\text{$x$\in$[0;1],}\\ 0.5,&\text{$x$\in$(1;2],}\\ 1,&\text{$x$\in$(2;+$\infty$).} \end{cases}$
Это правильно?

Вообще-то по-любому неправильно. Минимум из чего-то и единицы всегда не превосходит единицы, поэтому Ваше 0.5 на интервале $(1;2]$ заведомо неверно.

Логично. 0.5 я получил из того, что на полуинтервале $(1;2]$ $\eta=min(\xi, 1)$ является постоянной величиной, равной 1. Следовательно на этом интервале я просто проинтегрировал $f_{\xi}$ и получил 0.5 и записал это в функцию распределения $F_{\eta}$. Правомерно ли я это сделал?

-- Вс июн 19, 2011 21:32:07 --

Joker_vD в сообщении #459933 писал(а):

re3burn в сообщении #459926 писал(а):

--mS--, что Вы имеете ввиду под определением функции распределения: надо решение что ли привести?
Просто не совсем понятно, что конкретно надо) Неоднозначно истолковать можно)

Вот представьте себе — приходите вы на экзамен по теорверу. Отвечаете билет, и экзаменатор начинает вам задавать дополнительные вопросы. Первый его вопрос: "Хорошо... а приведите-ка определение функции распределения". Вы: "Что вы имеете ввиду под определением функции распределения?"

$F_{\xi}=P(\xi(\omega)<x)$ - функция распределения СВ

[--mS--]

re3burn в сообщении #459936 писал(а):

$F_{\xi}=P(\xi(\omega)<x)$ - функция распределения СВ

Замечательно. Теперь в первой задаче найдите по определению $F_\eta(-2)$. Во второй - $F_\eta(1,5)$.

[re3burn]

$F_{\eta}(-2)=P(\eta<2)=0$
Тогда в первой задаче ответ такой:
$ F_{\eta}(x)=\begin{cases} 0,&\text{$x$\in$(-$\infty$;-2],}\\ 0.25,&\text{$x$\in$(-2;0],}\\ 1,&\text{$x$\in$(0;+$\infty$).} \end{cases} $

[--mS--]

Верно (только минус двух под знаком вероятности). Вот теперь функция непрерывна слева в любой точке, как и требовалось. Что по второй задаче? Учтите сообщение PAV о значениях $\eta$.

[re3burn]

Во второй задаче
$F_{\eta}=P(\xi<1.5)=0+0.5+0.5=1$

-- Вс июн 19, 2011 22:02:57 --

Значит ответ такой:
$ F_{\eta}(x)=\begin{cases} 0,&\text{$x$\in$(-$\infty$;0],}\\ 0.5x,&\text{$x$\in$(0;1],}\\ 1,&\text{$x$\in$(1;+$\infty$).} \end{cases} $

[--mS--]

re3burn в сообщении #459957 писал(а):

Во второй задаче
$F_{\eta}=P(\xi<1.5)=0+0.5+0.5=1$

Ну, логика сложения мне непонятна, а единица - верно. Исправьте теперь функцию.

[re3burn]

$ F_{\eta}(x)=\begin{cases} 0,&\text{$x$\in$(-$\infty$;0],}\\ 0.5x,&\text{$x$\in$(0;1],}\\ 1,&\text{$x$\in$(1;+$\infty$).} \end{cases} $

-- Вс июн 19, 2011 22:11:10 --

Так правильно?