найти предел

[Kornelij]

Подскажите, как доказать, что

Уже и так, и сяк пробовал, но что-то никак не выходит...

[Vince Diesel]

Сначала, вспомнив бета-функцию, рассмотреть случай $\alpha=1$. А затем показать, что разница значений интегралов при $\alpha=1$ и $\alpha\in(1/2,1)$ стремится к нулю при $k\to\infty$. У подинтегральной функции будет пик при $t=1/2$ и хвосты, достаточно быстро прижимающиеся к нулю вне отрезка $[1-\alpha,\alpha]$. Для доказательства "достаточно большой быстроты" можно применить формулу Стирлинга к факториалам и получить оценку с главным членом порядка $4^n$.

[Kornelij]

Спасибо)