Задача Штурма-Лиувилля

[mascom]

Всем привет!

Не могу решить задачу Штурма-Лиувилля (пытаюсь сделать при помощи характеристического многочлена, но прихожу только к нулевому решению).

Вот сама задача:

$y''+8y'=\lambda y$

$y(2)=y(4)=0$

Помогите пожалуйста!

Вот что у меня получается:

Характеристическое уравнение:

$\alpha^2+8 \alpha - \lambda=0$

$\alpha_{1,2} = \frac {-8\pm \sqrt{64+4\lambda}}{2}=-4 \pm \sqrt{16+\lambda}$

Общее решение:

$y=c_1 e^{(-4+ \sqrt{16+ \lambda})x} + c_2 e^{(-4-\sqrt{16+\lambda})x}$

Подставляем гран.условия:

$y(2)=y(4)=0$

$c_1 e^{-8+2 \sqrt{16+\lambda}} = -c_2 e^{-8-2\sqrt{16+\lambda}}$

$c_1 e^{-16+4 \sqrt{16+\lambda}} = -c_2 e^{-16-4\sqrt{16+\lambda}}$ Т.е.

$-\frac {c_1} {c_2} e^{4\sqrt{16+\lambda}}=1$

$-\frac {c_1} {c_2} e^{8\sqrt{16+\lambda}}=1$

Делим одно на другое и получается

$e^{4\sqrt{16+\lambda}}=1$

откуда $\lambda=-16$, что даёт тождественный ноль. Глупо...

Пробовал другим способом:

поделим исходное уравнение на $y'$

$\frac{y''}{y'}-\frac{\lambda y}{y'}=-8$ это можно записать в следующем виде

$(\operatorname{Ln} y')'-(\operatorname{Ln} y^\lambda)'=-8$ или

$(\operatorname{Ln} \frac {y'} {y^\lambda})'_x=-8$

$d(\operatorname{Ln} \frac {y'} {y^\lambda})=-8dx$ проинтегрируем:

$\operatorname{Ln}\frac {y'}{y^lambda}=-8 x +c_1$ И ещё раз:

$\frac{dy}{y^\lambda}=e^{-8x+c_1}dx$

$\frac{y^{1-\lambda}}{1-\lambda}=\frac{e^{-8x+c_1}}{-8}+c_2$ Т.е.

$y=[(1-\lambda)(\frac{e^{-8x+c_1}}{-8}+c_2)]^{\lambda-1}$ подставив гран.условия:

$[(1-\lambda)(c_2-\frac{e^{c_1-16}}{8})]^{\lambda-1}=[(1-\lambda)(c_2-\frac{e^{c_1-32}}{8})]^{\lambda-1}=0$ те же яйца, только в профиль...

Вопрос задавался мной ранее в схожей по названию теме: Матфизика(задача Штурма-Лиувилля) но там не ответили...

[ИСН]

Очень даже ответили.

mitia87 в сообщении #459227 писал(а):

При решение квадратного уравнения возможны 3 случая!!!
1. $D > 0$
2. $D = 0$
3. $D < 0$

Вы убедились, что первый случай невозможен. Рассмотрите остальные.