ряд

[tavrik]

проверить на сходимость

$\sum\frac{(-1)^n}{\ln n}\left(\frac{1}{2}+\frac{2}{2^2}+...+\frac{n}{2n}\right)$

поначалу я ответил расходится...но, видимо неверно.
ряд знакочередующийся.
$\frac{1}{\ln n}$ монотонно убывает, как оценить сверху $\sum\frac{k}{2^k}$?
который сходится к 2. как он влияет на сходимость основного ряда?

уверен, были похожие вопросы, если есть ссылки.

[ShMaxG]

tavrik
На форуме уже даже было.

Как по Вашему, в скобках сумма сходится?

[vlad_light]

$\sum\limits_{k=0}^n \frac{k}{2^k}=\frac{1}{2^n}(-n+2^{n+1}-2)$
Соответственно, наш ряд перепишется в виде:
$\sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{2^{n+1}-n-2}{2^n\ln n}$
Дальше подсказывать?

[ShMaxG]

А, Вы уже сказали, что он сходится... Но это даже не важно к чему, главное, что ряд -- из положительных членов. Пусть он сходится к числу A. А теперь внутри этой скобки добавьте и вычтете число A. Посмотрите, что получится.

[tavrik]

влад
дальше уже вроде как не выполняется необходимый признак сход.ряда.

ShMaxG
а если бы ряд сходился к числу меньше 1 тоже самое было бы?

[ShMaxG]

Ну да... Вы попробуйте и посмотрите.

-- Пт июн 17, 2011 19:19:09 --

tavrik в сообщении #459223 писал(а):

дальше уже вроде как не выполняется необходимый признак сход.ряда.

Мм?

[tavrik]

поспешил с признаком

[ewert]

tavrik в сообщении #459205 писал(а):

$\frac{1}{lnn}$ монотонно убывает, как оценить сверху $\sum\frac{k}{2^k}$?

Доказывайте, что приращение суммы, делённой на логарифм, знакоопределённо (начиная с некоторого номера). При этом вовсе нет никакой необходимости выписывать ту сумму явно -- мы ведь заранее уверены, что это правда (раз уж сумма с ростом номера меняется заведомо много медленнее логарифма, то никаких проблем возникнуть не может). Вспомните в качестве образца, как доказывалось правило дифференцирования дроби: $\Delta(\frac fg)=\frac{f+\Delta f}{g+\Delta g}-\frac fg$ и т.д.

-- Пт июн 17, 2011 19:43:22 --

Да, не обратил внимания:

ShMaxG в сообщении #459220 писал(а):

Пусть он сходится к числу A. А теперь внутри этой скобки добавьте и вычтете число A.

Это технически действительно существенно проще, но логически чуть сложнее.

[tavrik]

вообще, при каких условиях ряд вида
$\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n\sum\limits_{k=0}^{k=n}b_n$
сойдется, при каких нет?
если b_n положителен и сходится/уходит в $\infty$ то общий ряд расходится...хотя нет, все зависит от знаков и самих рядов...рецептов нет, короче.