Функциональное уравнение

[sbidujko]

Существует ли биекция $f: \mathbb R\mapsto\mathbb R$ такая, что
$f(x)+f^{-1}{(x)} = -x$ для любого х?

-- Пт июн 17, 2011 17:28:28 --

Если положить $f(1)=a$ и далее трижды воспользоваться равенством из условия, получим $f(-1)=a$! Это действительно так или я чего-то не учел?

[arseniiv]

Так давайте проверим!

\begin{array}{lcl} 1 & [x = 1] & a + f^{-1}(1) = -1 \\ 1' & & f^{-1}(1) = -1 - a \\ 1'' & & 1 = f(-1 - a) \\ 2 & [x = a] & f(a) + 1 = -a \\ 2' & & f(a) = -1 - a \end{array}

Больше вроде ничего не накапывается из этого условия…

-- Пт июн 17, 2011 23:30:59 --

Из $f(0) + f^{-1}(0) = 0$ следует $f(0) = -f^{-1}(0) = b$, а из него
$f(-b) = f^{-1}(b) = 0$, если не ошибся. А из этого $f(b) = -b$ и $f^{-1}(-b) = b$.

-- Пт июн 17, 2011 23:36:58 --

Поищем неподвижную точку $c\colon f(c) = c = f^{-1}(c)$.
$f(c) + f^{-1}(c) = 2c = -c$. Если она есть, ей может быть только $0$. Ещё тогда $b = 0$, и все те найденные точки тогда не принесут пользы, потому что объединятся.

Пока ничего интересного не находится…

[worm2]

Существует.
Пусть $G: \mathbb R \mapsto \mathbb C$ — биекция, удовлетворяющая соотношению $G(-x)=-G(x)$ (по-моему, достаточно очевидно, что такая биекция существует).
Далее, построим биекцию $h: \mathbb C \mapsto \mathbb C$ (удовлетворяющую условиям задачи в $\mathbb C$): $h(z)=z_1z$, где $z_1$ — корень уравнения $z^2+z+1=0$ (здесь существенно, что $h$ линейна). Легко видеть, что $f=G\circ h \circ G^{-1}$ удовлетворяет условиям задачи.

[nnosipov]

worm2 в сообщении #459461 писал(а):

Существует.
Пусть $G: \mathbb R \mapsto \mathbb C$ — биекция, удовлетворяющая соотношению $G(-x)=-G(x)$ (по-моему, достаточно очевидно, что такая биекция существует).
Далее, построим биекцию $h: \mathbb C \mapsto \mathbb C$ (удовлетворяющую условиям задачи в $\mathbb C$): $h(z)=z_1z$, где $z_1$ — корень уравнения $z^2+z+1=0$ (здесь существенно, что $h$ линейна). Легко видеть, что $f=G\circ h \circ G^{-1}$ удовлетворяет условиям задачи.

Если $h=f \circ g$, то $h(x)=f(g(x))$? Или $h(x)=g(f(x))$?

[worm2]

Гм, я имел в виду $f(x)=G^{-1}(h(G(x)))$. Сейчас справился в Википедии, и понял, что неправильно написал композицию. Правильно будет $f = G^{-1}\circ h\circ G$.

[mserg]

Что-то я не осилил квадратное уравнение....
Какой у Вас получился корень?

[worm2]

Пусть будет $z_1=-\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

[mserg]

Подставляем $f(x)=G^{-1}(h(G(x)))$ в фунциональное уравение, избавляемся от h … И как достигается (доказывается) равенство в функциональном уравнении?

[worm2]

Ой, ошибся
Нужно ещё дополнительно потребовать, чтобы выполнялось равенство $G(x+y)=G(x)+G(y)$. Раньше ошибочно думал, что без этого можно обойтись. Дело, конечно, усложняется. Хотя вот тут: http://dxdy.ru/topic21507.html пишут, что существует такая биекция, но я в этих вопросах не силён...
Если этот этап пройти, то дальше просто:
$h^{-1}(z)=z_2z$, где $z_2$ — второй корень уравнения $z^2+z+1=0$. Конкретно, $z_2=\dfrac{1}{2}-i\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
$f^{-1}(x)=G^{-1}(h^{-1}(G(x)))=G^{-1}(z_2G(x))$.

$$f(x)+f^{-1}(x)=G^{-1}(z_1G(x))+G^{-1}(z_2G(x))=G^{-1}((z_1+z_2)G(x))=G^{-1}(-G(x))=-G^{-1}(G(x))=-x$$

[mserg]

А как $(G^{-1}\circ h\circ G)^{-1}(x)$ превратилось в G^{-1}(h^{-1}(G(x))) $?

При "упрощении" функционального уравнения применяется равенство $G^{-1}(x+y)=G^{-1}(x)+G^{-1}(y)$. Оно следует из $G(x+y)=G(x)+G(y)$?

[worm2]

mserg писал(а):

А как $(G^{-1}\circ h\circ G)^{-1}(x)$ превратилось в $G^{-1}(h^{-1}(G(x)))$?

Вроде, правильно всё: $(f \circ g)^{-1}=g^{-1}\circ f^{-1}$, т.е. при обращении композиции функций все функции обращаются, а порядок применения меняется на противоположный.

Цитата:

При "упрощении" функционального уравнения применяется равенство $G^{-1}(x+y)=G^{-1}(x)+G^{-1}(y)$. Оно следует из $G(x+y)=G(x)+G(y)$?

Да, здесь используется то, что $G$ — биекция. $G(G^{-1}(x)+G^{-1}(y))=G(G^{-1}(x))+G(G^{-1}(y))=x+y$, применяем к обеим частям равенства $G^{-1}$.
Далее можно получить, что $G(0)=G^{-1}(0)=0$, $G(-x)=-G(x)$, $G^{-1}(-x)=-G^{-1}(x)$.

[worm2]

А вот и конструктивное решение:



$\varphi = \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$ — корень уравнения $x^2-x-1=0$, синий график — $f(x)$, красный — $f^{-1}(x)$. Функции кусочно-линейные, с общей формулой $f(x)=\pm\varphi^kx$, $k\in\mathbb Z$. Все интервалы непрерывности замкнуты со стороны, ближайшей к нулю, с другой стороны — открытые.
$f(x)$ — биекция множества $\Phi_0=(-\varphi^4,\,-\varphi] \cup [\varphi,\,\varphi^4)$ в себя, удовлетворяющая на этом множестве уравнению задачи. Путём масштабирования на соответствующие степени $\varphi$ можно доопределить функцию на всём $\mathbb R$.

[mserg]

Можно я поставлю точку в Ваше решение?
Точка эта (0,0)
Помните, Вы давали ссылку на тему, где обсуждение темы сильно напоминает сбор наркоманов: они «курят», смеются над теми, кто не «в теме». Они должны подтвердить, что точка нужна.

[worm2]