топология. непрерывные отображения.

[aj2201]

Построить функцию $f : \mathbb R\to\mathbb R$ непрерывную в топологии $(-\infty,a)$, где $a\in\mathbb R$, которая не является непрерывной в стандартной топологии.

Функция называется непрерывной если прообраз открытого открыт.

[Kallikanzarid]

Где именно у вас возникли затруднения?

[Виктор Викторов]

aj2201 в сообщении #458944 писал(а):

Функция называется непрерывной если прообраз открытого открыт.

«прообраз открытого» Открытого чего?
Определение непрерывности должно звучать так: Функция $f$ топологического пространства $X$ в топологическое пространство $Y$ называется непрерывной, если полный прообраз каждого открытого множества открыт.

aj2201 в сообщении #458944 писал(а):

Построить функцию $f: \mathbb R\to\mathbb R$ непрерывную в топологии $(-\infty, a)$, где $a\in\mathbb R$, которая не является непрерывной в стандартной топологии.

Я поправил обозначения, а Вы попробуйте объяснить, что Вы хотели бы узнать.

[aj2201]

существуют ли такие функции.
этот вопрос мучает больше всего.

[Виктор Викторов]

Какие функции? Что такое топология $(-\infty, a)$? Я хочу знать на каком множестве задана эта топология и как выглядят её открытые множества? Какое отношение к этому имеет точка $a$?

[aj2201]

нужно найти/построить функцию отображающей вещественную ось на вещественную ось которая непрерывна в топологии где открытыми являются левые полуоси и которая не является непрерывной в стандартной топологии где базой являются интервалы.

-- Пт июн 17, 2011 06:21:32 --

в общем все ужасно непонятно и ни одной идеи

[Виктор Викторов]

Становится веселее. Нужно построить функцию, отображающую вещественную ось на вещественную ось. Правильно? Эта функция не будет непрерывной, если её облаcть определения и область прибытия являются пространствами со стандартной топологией. Правильно? Но она (функция) будет непрерывной при каких-то других топологиях. Каких? Таких, что открытыми множествами являются все левые полуоси и только они? Правильно?

[aj2201]

да, всё верно

[Виктор Викторов]

Стандартная топология много богаче открытыми множествами чем Ваша «полуосевая» и требования к непрерывности строже. Например, нужно проверять будет ли открытым полный прообраз открытого интервала $(c, d)$, а в «полуосевой» это не нужно. Свободой надо пользоваться. Правила-то помягче. Возьмите какую-нибудь функцию, разрывную в одной точке в стандартной топологии и проверьте а вдруг она непрерывна в «полуосевой»?

[aj2201]

неужели все так просто!
то есть функция

$$ y=\begin{cases} x,&\text{если $x>0$;}\\ x-1,&\text{если $x\le 0$;}\\ \end{cases} $$

и есть то что надо?

-- Пт июн 17, 2011 07:14:49 --

сижу сейчас и думаю как можно было потратить не эту задачу столько времени

[Виктор Викторов]

Я Вас должен слегка разочаровать. Всё чуть сложнее. Построенная Вами функция всем хороша, но она не $f: \mathbb R \to\mathbb R$. Она $f: \mathbb R\to (-\infty, -1]\cup (0, \infty)$. Поэтому поищите что-нибудь похитрее. Например, комбинацию параболы и прямой.

[Kallikanzarid]

aj2201 в сообщении #458951 писал(а):

Что такое топология $(-\infty, a)$?

Имеется ввиду топология с предбазой из таких множеств.

Виктор Викторов в сообщении #458964 писал(а):

Построенная Вами функция всем хороша, но она не $f: \mathbb R \to\mathbb R$. Она $f: \mathbb R\to (-\infty, -1]\cup (0, \infty)$.

А там требовалась биекция? :)

[JMH]

Kallikanzarid в сообщении #458967 писал(а):

А там требовалась биекция? :)

Биекция не требовалась, но требуется, чтобы и область определения и область значений были $\mathbb R$:

aj2201 в сообщении #458944 писал(а):

Построить функцию f : ($\mathbb R\to\mathbb R$)...

[Kallikanzarid]

JMH в сообщении #458982 писал(а):

Биекция не требовалась, но требуется, чтобы и область определения и область значений были $\mathbb R$:

Область значений от кодомена отличаем?

[Виктор Викторов]

Kallikanzarid в сообщении #459179 писал(а):

JMH в сообщении #458982 писал(а):

Биекция не требовалась, но требуется, чтобы и область определения и область значений были $\mathbb R$:

Область значений от кодомена отличаем?

aj2201 в сообщении #458951 писал(а):

… построить функцию отображающей вещественную ось на вещественную ось…