Сходимость ряда

[freedom_of_heart]

$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n^2+4}$

Признак сравнения с $1/n$ не помог.

По признаку Даламбера получается $1$

Признак Коши не актуален

Что делать -- подскажите, пожалуйста!

[ewert]

freedom_of_heart в сообщении #458677 писал(а):

Что делать

Сравнивать с $1/n$.

[freedom_of_heart]

ewert в сообщении #458683 писал(а):

Сравнивать с $1/n$.

Спасибо, но не помог этот признак(

$\frac{n}{n^2+4}< \frac{1}{n}$

Ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$ расходится (гармонический).

Но из расходимости ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$ не следует расходимость исходного ряда, так как знак неравенство не в ту сторону!!!

[--mS--]

А Вы как-нибудь сравните с $1/n$ с другой стороны.

[nnosipov]

Ещё можно разрубить $1/n$ пополам.

[freedom_of_heart]

То есть так можно?!

$\frac{1}{2n}<\frac{n}{n^2+4}< $

Из расходимости $\sum\frac{1}{2n}$ следует расходимость $\sum\frac{n}{n^2+4}$

[--mS--]

freedom_of_heart в сообщении #458700 писал(а):

То есть так можно?!

$\frac{1}{2n}<\frac{n}{n^2+4}< $

Проверьте при малых $n$.

[nnosipov]

А почему бы и нет? Только неравенство $1/(2n)<n/(n^2+4)$ докажите. И не забудьте объяснить, почему ряд $\sum 1/(2n)$ расходится.

[--mS--]

nnosipov в сообщении #458703 писал(а):

А почему бы и нет?

Ну, наверное, потому, что неравенство, вообще говоря, неверно? Мал-мало ещё что-то нужно отдельно с первыми членами ряда делать или не делать :)

[Gortaur]

Вопрос такой: раз методы Коши/Даламбера уже можно использовать, значит и признак по эквивалентности можно? $n/(n^2+4)\sim 1/n$.

[nnosipov]

А чего с ними делать? Да забыть про них. Не нужны они. Ну, или продолжить экзекуцию и четвертовать $1/n$.

[--mS--]

nnosipov в сообщении #458712 писал(а):

А чего с ними делать? Да забыть про них. Не нужны они.

Осталось ещё объяснить вместо ТС, почему, и мы решили задачу. Ура, победа

[nnosipov]

А что-то барышня куда-то пропала. Размышляет над нашими предложениями, наверное. Подождём-с.

[ewert]

freedom_of_heart в сообщении #458687 писал(а):

Спасибо, но не помог этот признак(

$\frac{n}{n^2+4}< \frac{1}{n}$

Используйте второй признак сравнения вместо первого.

[freedom_of_heart]

Gortaur в сообщении #458708 писал(а):

Вопрос такой: раз методы Коши/Даламбера уже можно использовать, значит и признак по эквивалентности можно? $n/(n^2+4)\sim 1/n$.

Спасибо большое за ответы -- этот самый простой способ, вроде как

А можем использовать из-за того, что при $n\to\infty$ общие члены одинаковы, да?!