Диф. топология. Степень отображения. Помогите разобраться

[StaVorosh]

Здравствуйте формучане. Грядет экзамен по дифгему, и возникли небольшие трудности со степенью отображения. Не совсем понимаю как считать в некоторых случаях. Доказательство основной теоремы алгебры вроде понял, как посчитать степень при отображении $z \to z^n$ где z - комплексные числа $|z|=1$.
Вот хотелось бы еще узнать как строить отображение любой степени из тора в сферу, так же подскажите пожалуйста (кто знает) идейки по поводу вычисления степени следующих отображений:

$f: S^n \to S^n$ - центральная симметрия
$f: SO(2) \to SO(2)$ заданное формулой $A \to A^7$
$f: S^{2k+1} \to RP^{2k+1}$

[alcoholist]

StaVorosh в сообщении #458324 писал(а):

$f: S^n \to S^n$ - центральная симметрия

посмотрите, что происходит с ориентацией в зависимости от четности размерности (ответ $\pm 1$)

$f: SO(2) \to SO(2)$ заданное формулой $A \to A^7$

а что такое $SO_2\mathbb{R}$ геометрически?-))

$f: S^{2k+1} \to RP^{2k+1}$

это же накрытие! у всех точек по два прообраза...

StaVorosh в сообщении #458324 писал(а):

как строить отображение любой степени из тора в сферу

Возьмите на торе открытый маленький диск и отобразите его гомеоморфно в сферу без полюса, а то, что осталось -- в полюс: это отображение имеет степень 1. Дальше композиция с отображением сферы в сферу произвольной степени.