Помощь в понимании предела.

[keysy08]

Здравствуйте,
Помогите, пожалуйста с пределом:
$\lim_{x\rightarrow\infty} x(\ln(x+3)-lnx)=\lim_{x\rightarrow\infty}x(\ln\frac{x+3}{x})=\lim_{x\rightarrow\infty}(\ln\frac{x+3}{x})^x=\ln\lim_{x\rightarrow\infty}(\frac{x+3}{x})^x=\ln(e^3)=3$

Предел я решил (как оказалось ответ правильный), но малость "интуитивно", пользуясь подобными. После упрощений, в конце, воспользовался вторым замечательным пределом, а именно $\lim_{x\rightarrow\infty}(1+\frac{1}{x})^x=e$.
Вообщем у меня такой вопрос: Как объяснить появление $\ln(e^3)=3$ если оно вообще тут к месту.

[ИСН]

На третьем этапе небольшая путаница со скобками, но на дальнейшее она не повлияла.
А что Вы хотите объяснять? Вот ведь, всё уже написано.

[keysy08]

Хочу объяснить, каким образом появилась третья степени у $e$.

[Dan B-Yallay]

keysy08 в сообщении #458154 писал(а):

Хочу объяснить, каким образом появилась третья степени у $e$.

Ну давайте обьясняйте...

[Алексей К.]

Хе-хе. Я вроде в пределах не особо, но у Вас всё так просто:

$$\left(\frac{x+3}x\right)^x=\left(1+\frac3x\right)^x=\text{подмена}=\left(1+\frac1y\right)^{\text{что?}}=\ldots$$

(Ну типа я решил подменить $\frac3x$ на $\frac1y$, но тогда $x$ в показателе мне пришлось подменить на...

[PAV]

Замечательные пределы
следствие из второго (а самом конце)

[Dan B-Yallay]

(Мои 3 копейки)

$\text{(чтой-то)}^{3 \text{кое-чего}} = \big[\text{(чтой-то)}^{\text{кое-чего}}\big]^3$

[keysy08]

PAV в сообщении #458162 писал(а):

Замечательные пределы
следствие из второго (а самом конце)

О, да. То, что было нужно, теперь ясно. Второе следствие. Спасибо, за наводку.
Всем спасибо)