Дифференцируемость евклидовой нормы

[kkar]

Здравствуйте. Как доказать дифференцируемость функции $f(x)=||x||$ в n-мерном пространстве? Если пользоваться определением, то возникает страшное равенство, которое непонятно как проверять.

[Joker_vD]

В нуле она, ясен пень, недифференцируема. Во всех остальных можно попробовать использовать дифференцируемость сложной функции: $f(t) = \sqrt{t}$, $g(\mathbf x)=\sum\limits_{k=1}^n x_k^2$; тогда $f'(t) = \frac1{2\sqrt t}$ — непрерывна, а $\frac{\partial g(\mathbf x)}{\partial x_k}$ существуют и равны каждая соответственно $2x_k$. Тогда $f(g(\mathbf x)) = ||\mathbf x||$ дифференцируемо.

[ewert]

kkar в сообщении #457751 писал(а):

Как доказать дифференцируемость функции $f(x)=||x||$ в n-мерном пространстве?

Дифференцируемость $\|x\|^2$ тривиальна. Отсюда тривиально следует дифференцируемость $\|x\|$ всюду, кроме нуля.