Бесконечные расстояния и неравенство тругольника

[Curiousguy]

На днях встретился вот с такой вещью. Для изучения метрических пространств вводятся бесонечные расстояния между точками и утверждается что очень хорошо когда бесконечные расстояния разбивают на части (непересекающиеся подмножества). И вот тут у меня начинается недопонимание. Говорят что все расстояния внутри этой части конечны, а между точками разных частей расстояния бесконечны. Собственно почему это так? И ещё, считают точками "близкими" если расстояния м/у ними конечны, и эта "близость" есть отношение эквивалентности в связи с неравенством треугольника. Как это так? Объясните тупому. Спасибо!

[Someone]

Никогда не встречал бесконечных расстояний. Не могли бы Вы сформулировать точные определения? Как определяется для этого случая метрика и прочее.

[Curiousguy]

Someone в сообщении #457307 писал(а):

Никогда не встречал бесконечных расстояний. Не могли бы Вы сформулировать точные определения? Как определяется для этого случая метрика и прочее.

Заменяется в обычном опредлении метрического пространста область значении функции d на на расширенную область неотрицательных чисел [0, +бесконеч.)

[AD]

Curiousguy
Не понятно, что именно не понятно. Как строится отношения эквивалентности - понятно? На какие классы оно разбивает пространство - понятно?

Цитата:

Никогда не встречал бесконечных расстояний.

Наверное, как раз потому, что они не вносят ничего нового, о чем нам тут и рассказывают

[gris]

То есть, например, мы можем разбить числовую прямую на полуоткрытые интервалы $(n;n+1]$ с очевидным заданием новой метрики. И это будет метрическим пространством (в расширенном понимании)?
А правда, это может где нибудь использоваться?

[AD]

Мне вот интереснее, что будет если ввести бесконечно много таких "метрик" а-ля локально-выпуклое пространство. Может, в этом случае появится что-нибудь содержательно-новое?

-- Пн июн 13, 2011 11:59:40 --

А хотя не, наверное, тоже снова какой-нибудь индуктивный предел получится ...

[Curiousguy]

gris в сообщении #457348 писал(а):

То есть, например, мы можем разбить числовую прямую на полуоткрытые интервалы $(n;n+1]$ с очевидным заданием новой метрики. И это будет метрическим пространством (в расширенном понимании)?
А правда, это может где нибудь использоваться?

Это кажется дает лучший способ изучения пространства Александрова

[gris]

Может быть. Но мне кажется, что всё сводится к изучению отдельных пространств, составляющих некий комплекс, что ли. Ведь подпространствами их не назовёшь. Можно таким же образом объединять пространства с разной метрикой. Или ещё как немного изменить определение метрического пространства (или какого ещё фундаментального понятия). Есть такой вид учебных задач, а вот как оно в большой науке, я даже и не знаю. Уже прозвучало слово "содержательность". Надо, чтобы новые понятия приводили к какой-то содержательной теории. Например, введение бесконечной размерности в банаховых пространствах.
Впрочем, это моё чисто дилетантское мнение, и, возможно, такие метрические "комплексы" вовсю используются.