Устойчивость

[Padawan]

Пусть есть система обыкновенных дифф. уравнений. x\prime=f(x,t). И пусть любым начальным условием x_0 из некоторой области D определяется единственное решение x=x(t),\; t\in [t_0,+\infty).
Может ли такое быть: x_0 - начальное условие, дающее устойчивое решение,но при этом в некоторой окрестности x_0 U любое другое начальное условие дает неустойчивое решение.

Короче, может множество неустойчивости вообще замкнуто?

[PAV]

Насколько я помню, устойчивость решения означает, что при малом изменении начального условия решения также будут мало отличаться друг от друга. Но тогда, если мы рассмотрим два различных малых возмущения начального условия, то соответствующие решения будут также близки и к друг другу (по неравенству треугольника).

[Padawan]

Согласен, но это ничего не доказывает.

[Brukvalub]

Padawan писал(а):

Согласен, но это ничего не доказывает.

Ну как же не доказывает! Очень даже доказывает, что запрашиваемой Вами ситуации быть не может. То есть, малая окрестность начального значения устойчивого по Ляпунову решения также всегда состоит из начальных условий устойчивых по Ляпунову решений.

[RIP]

А вот и не доказывает. В "доказательстве" окрестность начальных значений зависит от выбранного малого возмущения, а не должна зависеть ни от чего(кроме начальной точки.)

[Brukvalub]

Да, поторопился.

[PAV]

Хорошо. Ну а если так: если решение с начальным условием $x_0^{(k)}$ неустойчиво, то сколь угодно близко к $x_0^{(k)}$ можно выбрать другое нач. условие $\hat x_0^{(k)}$, что соответствующие решения далеки. С другой стороны, если при $k\to\infty$ устремить точки $x_0^{(k)}$ к исходной точке $x_0$, то в силу устойчивости решения с этим начальным условием решения будут близки к нему. Применяя что-то вроде диагональной процедуры получаем, что начальные условия $\hat x_0^{(k)}$ стремятся к $x_0$, а решения при этом далеки, что противоречит устойчивости.

[Padawan]

Нет, такими рассуждениями ничего не докажешь. Это тоже самое, что доказывать, будто бы
из непрерывности функции в точке следует непрерывность в окрестности. Например x^2*Дирихле(x) непрерывна в нуле.

Насчет замкнутости ВРОДЕ строится контрпример, т.е. множество неустойчивости не обязано быть замкнутым (последовательность неустойчивых точек x_k, сходящяяся к нашей x_0, и "колебание неустойчивости" в x_k стремится к 0 при k\to \infty.)

А вот чтобы была изолированная устойчивая точка не понятно.

Добавлено спустя 37 минут 4 секунды:

"колебание неустойчивости" - аналог колебания функции в точке
\delta (x_k) = \displaystyle\lim_{r\to 0} \delta (U_r), где
\delta (U_r) = \sup_{a,b\in U_r} \sup_{t\geq t_0} |x(t,a)-x(t,b)|
- аналого колебания функции на множестве U_r - r-окрестность точки x_k
x(t,a),x(t,b) - решения, соответствующие нач. условиям a,b