Функциональное уравнение

[kirasole]

Доброго всем времени суток!

Зацепился на просторах инета на одно уравнение, которое никак не могу удовлетворительно решить.

$$y = ax + bx^2\sin y$$

Я искал решение в виде ряда по степеням $x$. Разложив $\sin y$ по степеням $x$ по формуле Фаа-ди-Бруно и приравняв коэффициенты при соотв. степенях, я получил такую формулу для коэффициентов разложения функции $y$

$$c_n = b\sum \frac{(-1)^{\frac{m_1+m_2+\cdots+m_{n-2}-1}{2}}}{m_1!\cdots m_{n-2}!}\prod_{i=1}^{n-2} c_i^{m_i}$$

где сумма берётся по всем наборам целых $m_i$ таких, что $\sum im_i=n$ и $\sum m_i$ нечётна, $c_0$=0, $c_1=a$.
Вроде бы и решение, но мне не нравится 1) то, что коэффиценты задаются рекурсивно, 2) то, что ряд вообще медленно сходится. Я посчитал коэффициенты до $c_{17}$ и, как видно из графика, уже после $x=0.5$ начинается расхождение (в этом примере $a=1$, $b=2$).

Сама функция нечётная и, кажется, при $x\to\infty$, $y\to\pi$.

Может ли кто-нибудь предложить подход к этой задаче поизящнее?

[alisa-lebovski]

По-моему, эта функция вообще не однозначна.
И с ростом $x$ у нее все больше ветвей.

[Someone]

И ряд, скорее всего, имеет конечный радиус сходимости, чем и объясняется резкое расхождение при достаточно больших $x$.

[alisa-lebovski]

Может быть, лучше тогда раскладывать в ряд не в нуле, а в $\pi$?

[kirasole]

alisa-lebovski, а почему именно в $\pi$? Может быть, разложить сначала $x$ по степеням $y$ в точке $\pi$, а потом попытаться обратить ряд?