Группы порядка 2n

[academicOleg]

Помогите разобраться пожалуйста.
Задача такова: Доказать, что в группе порядка $2n$, где $n$ нечетное, существует подгруппа индекса $2$. Полезно вспомнить теорему Кэли (подсказка в условии).

Для простых $n$ задача решается при помощи теоремы Силова (есть нормальная подгруппа порядка $2$, по ней найдем фактор-группу порядка $n$)
Мои попытки применить теорему Кэли разбились на $A_5$, т.к. непонятно, как, используя теорему Кэли, учесть нечетность $n$.

[VAL]

academicOleg в сообщении #457041 писал(а):

Задача такова: Доказать, что в группе порядка 2n, где n нечетное, существует подгруппа индекса 2. Полезно вспомнить теорему Кэли (подсказка в условии).

Для простых n задача решается при помощи теоремы Силова (есть нормальная подгруппа порядка 2, по ней найдем фактор-группу порядка n)
Мои попытки применить теорему Кэли разбились на А5, т.к. непонятно, как, используя теорему Кэли, учесть нечетность n.

А причем тут $A_5$? Порядок $A_5$ равен 60.

[academicOleg]

А5 не имеет к задаче прямого отношения, просто я проверял на ней идеи, т.к. они не должны на ней работать. В последующем понял, что делаю что-то не так

[bnovikov]

Посмотрите лемму 6 в статье Старолетова

http://semr.math.nsc.ru/v5/p20-24.pdf

[bnovikov]

См. также задачу 2.16 в

Dixon J.D. Problems in Group theory

[academicOleg]

Спасибо вам большое, вроде разобрался