Про последовательности

[analitik777]

Всем привет! В последнее время я занимаюсь различными последовательностями и хотел бы спросить: с какой стороны их рассматривают? Вот, например, для каждой последовательности можно составить производящую функцию. А ещё что можно? Хотелось бы услышать ответы про характеристическое уравнение последовательности. Можно ли зная рекурентную формулу записать общий член как функцию от эн? Заранее спасибо!

[Sonic86]

По-моему, слишком общий вопрос. Если как-то детализировать, то можно подумать...

[analitik777]

можно в принципе основное из вопроса выделить:

1) есть ли алгоритмы нахождения формулы общего члена как функции от эн, если последовательность задана рекурентно?

2) как применяются характеристические уравнения последовательности в их изучении?

[mihailm]

1) в общем нет, в частных случаях (совсем частных) да
2) что это?

[analitik777]

1) Вы не знаете в каких книгах это можно найти?

2) вот например для последовательности Фибоначчи уравнение имеет вид: x^2-x-1=0. Толком не знаю для чего они нужны. Думал это известное понятие http://ru.wikipedia.org/wiki/Числа_Фибоначчи вот тут про них узнал

[gris]

Характеристическое уравнение определяется только для линейных рекуррентных последовательностей.
И если удаётся аналитически определить корни этого многочлена, то через них можно выразить общий член последовательности.
Вот же недавно обсуждали Числа Фибоначчи.

Да и Вы про них .

[analitik777]

Ссылочку не дадите чтобы посмотреть?

[mihailm]

analitik777 в сообщении #456887 писал(а):

1) Вы не знаете в каких книгах это можно найти?

2) вот например для последовательности Фибоначчи уравнение имеет вид: x^2-x-1=0. Толком не знаю для чего они нужны. Думал это известное понятие http://ru.wikipedia.org/wiki/Числа_Фибоначчи вот тут про них узнал

1) Можно начать с Маркушевича возвратные последовательности
совсем другой подход в Конкретной математике авторы Кнут и др
2) если не знаете для чего нужны зачем они?

[alex1910]

gris в сообщении #456889 писал(а):

Характеристическое уравнение определяется только для линейных рекуррентных последовательностей.
И если удаётся аналитически определить корни этого многочлена, то через них можно выразить общий член последовательности.
Вот же недавно обсуждали Числа Фибоначчи.

Да и Вы про них .

А что, имеются многочлены, для которых нельзя вычислить корни с желаемой точностью? :)

[gris]

alex1910, можно, но тогда придётся оценивать необходимую точность через номер требуемого к нахождению члена, а в некоторых задачах нужна именно точная формула, а не приближённая.

[Kallikanzarid]

analitik777 в сообщении #456875 писал(а):

Можно ли зная рекурентную формулу записать общий член как функцию от эн? Заранее спасибо!

ЕМНИП, это нерешенная задача, на данный момент положительный ответ дан для линейных рекуррентных соотношений.

[ewert]

analitik777 в сообщении #456883 писал(а):

1) есть ли алгоритмы нахождения формулы общего члена как функции от эн, если последовательность задана рекурентно?

Это вопрос примерно того же уровня, как: "есть ли общая формула для решения произвольного дифференциального уравнения?". С какой стати.

[alex1910]

gris в сообщении #456895 писал(а):

alex1910, можно, но тогда придётся оценивать необходимую точность через номер требуемого к нахождению члена, а в некоторых задачах нужна именно точная формула, а не приближённая.

"Именно формула" - это экзотика, которая возникает в простых модельных задачах теории. А, на практике, рекуррентное соотношение может иметь сотни членов - так что численных методов не избежать.

Другой расклад - "простое" ("мало" членов) рекуррентное соотношение, коэфициенты которого известны лишь с некоторой точностью.

Да и зачем "точные формулы" - большинство задач решается, если, в каком-то приближении, известна асимптотика.

[gris]

Совершенно согласен. Я имел в виду не прикладные задачи, а теоретико-числовые, связанные с какой-нибудь делимостью или последней цифрой числа. Хотя не знаю, насколько здесь точная формула поможет.

[alex1910]

gris в сообщении #457477 писал(а):

Совершенно согласен. Я имел в виду не прикладные задачи, а теоретико-числовые, связанные с какой-нибудь делимостью или последней цифрой числа. Хотя не знаю, насколько здесь точная формула поможет.

Задача - это то, что еще не решено и не имеет методов решения.
Все остальное - упражнения, или, в запущенном случае, примеры.