Точка в прямоугольнике

[Xenia1996]

Дан прямоугольник $ABCD$ со сторонами $a$ и $b$ и точка $P$ внутри него.
Чему может быть равно $PA\cdot PC+PB\cdot PD$?
В каком случае достигается минимум?
В каком случае достигается максимум?

[haku]

Минимум: $ab$
Устремляем $P \rightarrow A$ (если мы можем занимать только внутреннюю область прямоугольника).
Тогда $PA \cdot PC \rightarrow 0$ и $PB \cdot PD \rightarrow ab$.

Максимум: $b \geqslant a$, $b \sqrt{\frac{1}{4}b^2 + a^2}$.
Введём систему координат для точки $P=(x, y), b \geqslant a, x \in b, y \in a$. Тогда для $(x, y) = (\frac{1}{2}b, 0)$ будет являться максимумом.

(Оффтоп)

Извините, помогал компьютер, но с теорией он, почти, сошёлся.

[arqady]

Xenia1996 в сообщении #456477 писал(а):

Дан прямоугольник $ABCD$ со сторонами $a$ и $b$ и точка $P$ внутри него.
Чему может быть равно $PA\cdot PC+PB\cdot PD$?
В каком случае достигается минимум?
В каком случае достигается максимум?

Перенесём $\Delta APB$ параллельно себе так, чтобы отрезок $AB$ перешёл в $DC$.
Пусть при этом точка $P$ перейдёт в точку $P'$.
Тогда $PA\cdot PC+PB\cdot PD=P'D\cdot PC+P'C\cdot PD\geq PP'\cdot DC=ab$.
Равенство достигается, когда около четырёхугольника $DPCP'$ можно описать окружность.
Что-то похожее было на одном из древних Турниров Городов.