Неравенство для произведения синусов

[bundos]

Пусть для любого натурального $n,$ $f_n(\theta)=\sin\theta\cdot\sin (2\theta)\cdot\ldots\cdot\sin (2^n\theta).$
Доказать, что для любых действительных $\theta$ и для всех $n$

$$|f_n(\theta)|\leqslant\frac2{\sqrt3}\left|f_n\left(\frac{\pi}{3}\right)\right|$$

[Sonic86]

По-моему, можно доказать, что для среди точек максимума функции одна из них имеет вид $\theta _n = \frac{\pi}{3} + \varepsilon _n$, причем с ростом $n$ $\lim\limits_{n \to + \infty} \varepsilon _n = 0$ (возможно, что доказывать это надо через представление синусов в виде бесконечного произведения, $\frac{\pi}{3}$ "наиболее удалена" от всех корней функции). Отсюда можно попытаться извлечь что-то похожее на искомую оценку.
Но я в этом не спец, мой метод - последний. М.б. здесь надо через ТФКП доказывать

[alisa-lebovski]

По-моему, надо представить $f_n$ просто в виде выражения от $\sin\theta$ и $\cos\theta$, воспользовавшись формулами двойного угла (по индукции).

[nnosipov]

А сколько сомножителей в $f_n(\theta)=\sin\theta\cdot\sin (2\theta)\cdot\ldots\cdot\sin (2^n\theta)$ ?

[Sonic86]

nnosipov писал(а):

А сколько сомножителей в $f_n(\theta)=\sin\theta\cdot\sin (2\theta)\cdot\ldots\cdot\sin (2^n\theta)$ ?

$n+1$

[bundos]

Не получается. Для последовательности $\frac{2}{\sqrt3}\left|f_n\left(\frac{\pi}{3}\right)\right|$ нашёл только, что $\frac{2}{\sqrt3}\left|f_n\left(\frac{\pi}{3}\right)\right|=\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^n$. Но это очевидно... А что делать с произведением от $\theta$ я не знаю, подскажите.

[Sonic86]

http://e-science.ru/forum/index.php?s=5 ... opic=31924

[RIP]

Забавное неравенство. Будем доказать по индукции. При $n=0,1$ проверяется непосредственно. Дальше 2 случая. Если $|\sin x|\le \frac{\sqrt3}2$, то $|f_n(x)|=|\sin x|\cdot|f_{n-1}(2x)|\le\frac{\sqrt3}2\cdot\left(\frac{\sqrt3}2\right)^{n-1}=\left(\frac{\sqrt3}2\right)^n$. Если $|\sin x|\ge\frac{\sqrt3}2$, то $|\sin x\cdot\sin2x|\le\frac34$ (надо же!) и опять работает индукция: $|f_n(x)|=|\sin x\cdot\sin2x|\cdot|f_{n-2}(4x)|\le\ldots$.

[TOTAL]

Представляя

$$f_n^{2^{n+1}}(x)=\sin^{\alpha_n}(2^nx)\prod_{k=0}^{n-1}}S^{\alpha_k}(2^kx),$$

где

$$|S(x)|=|\sin^2x\sin2x| \le \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^3,$$

получаем немного лучше:

$$|f_n(x)| \le \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^{n+\frac{1}{3}-\frac{1}{3 \cdot 2^{n+1}}} $$