Помогите разобраться

[alexey007]

Задача состоит в следующем, нужно найти поверхность вращения минимальной площади.
Вращать поверхность я стал вокруг оси OX. Из физических соображений картинка должна быть следующей:

Задачу я начал решать так:
$\int_{0}^hy\sqrt{1+y'^2}dx\mapsto min$
Как обычно я записал уравнение Эйлера
$F_y-\frac{d}{dx}F_{y'}=0$
Из условия задачи должно выполняться
$y(0)=y^0$
$y(h)=0$
Посчитав, производные и упростив получил уравнение Эйлера:
$y''=\frac{1+y'^2}{y}$
Вроде нигде не ошибся)), начал дальше решать:
$y'=P,y''=PP_y$
$PP_y=\frac{1+P^2}{y}=> \frac{PdP}{1+P^2}=\frac{dy}{y}$
В итоге получил так
$y'=\sqrt{(C_1y)^2-1}$
Дальше не могу понять как интегрировать и какой ответ должен получиться))))
Если делать так:
$\frac{dС_1y}{\sqrt{(C_1y)^2}-1}=C_1dx$
То получиться так(если смотерть таблицу интегралов в Википедии)
$x(y)=ln(С_1y+\sqrt{(C_1y)-1})+C_2$
И если поставить второе граничное условие
$y(h)=0$, то под корнем в логарифме получиться -1((((((((
Я понимаю, что должен получить уравнение окружности)), но не получается((((
Помогите пожалуйста, разобраться)))

[ИСН]

Я не знаю, почему Вы надеетесь получить уравнение окружности. Совершенно очевидно, что минимум реализуется, если y моментально падает к нулю и там остаётся.

[alexey007]

Да, точно, я забыл написать, что в доп. условия входит начальный объем))))))))))
$\int_0^hdV=V_0$

[ИСН]

А, то-то же. Ну чо, множители Лагранжа, ноги в руки, и всё по новой.

[alexey007]

блин, не могу понять как начать решать((((