Спектр

[vlad_light]

Цитата:

Найти спектр элемента $a^{-1}b$ унитальной банаховой алгебры $\mathcal A$

$\sigma (a^{-1}b)=\{\lambda\in\mathbb C | (a^{-1}b-\lambda e)\overline\in \mathrm{Inv}(\mathcal A)\}$

-- Чт июн 09, 2011 11:30:17 --

Пробовал так:
$(a^{-1}b-\lambda e)^{-1}=((a^{-1})(b-a\lambda))^{-1}=a(b-a\lambda)^{-1}$
Последний элемент не принадлежит $\mathcal A\Leftrightarrow (b-a\lambda)^{-1}\overline\in \mathcal A$, поскольку, если $(b-a\lambda)^{-1}\in \mathcal A$, то из того, что $a\in\mathcal A$ и $\mathcal A$ - банахова алгебра, следует, что $a\cdot(b-a\lambda)^{-1}\in\mathcal A$.
Поскольку $\mathcal A$ - банахова алгебра, элемент $(b-a\lambda)\in\mathcal A$. Дальше не знаю.

[мат-ламер]

Давайте для начала упростим постановку. Пусть задача стоит такая. Найти спектр произведения двух матриц $A^{-1}B$. С такой задачей Вы бы справились?

[vlad_light]

Давайте. Пускай $\mathcal A$ - алгебра (комплексных) матриц размера $n\times n, n\in \mathbb N$. Рассмотрим элемент $A^{-1}B\in\mathcal A$. Тогда
$\sigma (A^{-1}B)=\{\lambda|(A^{-1}B-\lambda I)\overline\in \mathrm {Inv}\mathcal A\}=$
$=\{\lambda|det(A^{-1}B-\lambda I)=0\}=Ker(det(A^{-1}B-\lambda I))$
Что это нам даст - не понимаю.

[мат-ламер]

vlad_light. А Вам не кажется, что в условиях задачи чего-то не хватает?

[vlad_light]

Кажется, но на контрольной у меня была именно такая формулировка задачи. Т.е. для любой б.а. невозможно найти в явном виде спектр данного элемента?