Лемма Гронуолла(Диффуры)

[Stotch]

Кто-нибудь знает как она звучит?везде обыскал а в конспекте нету такой леммы

[Praded]

Погуглить совсем лениво?

[Dan B-Yallay]

http://en.wikipedia.org/wiki/Gronwall%27s_inequality

http://www.math.sc.edu/~howard/Notes/gronwall.pdf

[Stotch]

Там на английском не понятно можете вкратце объяснить ее?

[Gortaur]

(Оффтоп)

Русский гугл вообще-то не радует по этой теме. Возможно, ТС не любит читать на английском.

-- Ср июн 08, 2011 20:47:26 --

Stotch
Специально для Вас. Если $u,\beta$ непрерывны на $[a,b]$ и $u$ дифференцируема на $(a,b)$, кроме того

$$ u'(t)\leq \beta(t)u(t) $$

для всех $t\in [a,b]$, то $u$ ограничена сверху решением соответствующего ДУ $y'(t) = \beta(t)y(t)$, а именно

$$ u(t)\leq u(a)\exp\left(\int\limits_a^t \beta(s)\,ds\right) $$

[Dan B-Yallay]

Пусть

$$0 \leq \eta(\cdot) \in C^1[0,T]), \quad \eta'(t)\leq \phi(t)\eta(t)+\psi(t)$$

где $\phi , \psi $ - неотрицателные, интегрируемые на $[0,T]$ тогда

$$\eta(t)\leq e^{\int_0^t\phi(s)ds}\Big[ \eta(0)+ \int_0^t \psi(s)ds \Big]$$

и в частности, если

$$ \eta'\leq \phi\eta, \quad \eta(0)=0$$

то

$$\eta \equiv 0$$

[Stotch]

Спасибо,ээ вы дали какие-то разные теоремы откуда у Dan B-Yallay там пси от т взялось? и в кводратных скобках что-то странное.Не могли бы объяснить как правильно?

[Dan B-Yallay]

Я взял эту формулировку из Эванса. Если уберете пси из моего сообщения, то получите (практически) то же самое что и у Gortaur.
А он в свою очередь кажется перевел вам из Википедии.

(Оффтоп)

В общем Эванс дает формулу для неоднородного дифференциального неравенства, а в Википедии - для однородного.

[Stotch]

Хорошо если мы уберем пси то там все-равно етта от нуля берется а там от а.Не понятно почему

[Dan B-Yallay]

Вы области определения смотрели? $[0,T] \ - \ [a,b] $

[Stotch]

А понял.Парни смотрите вот у меня в вопросах
7)Лемма Гронуолла. Точка единственности решения задачи Коши. Доказательство единственности решения начальной задачи.
32) Лемма Гронуолла. Непрерывная зависимость решений от правых частей
33) Лемма Гронуолла. Теорема об интегральной непрерывности.
Здесь везде эту лемму имеют ввиду?или есть еще какие-то другие?

[Dan B-Yallay]

Неравенство Gronwall-a есть в дифференциальной (которые Вам уже выписаны выше) и интегральной форме.
7) - применяется дифф. форма практически в лоб: берете модуль разности двух решений ДУ - применяете Гронуолла - получаете в итоге ноль, то есть единственность.
32) то же самое - два ДУ с разными правыми частями ($\phi_1, \ \phi_2$). Берете разницу-Гронуолл-"разница непрерывно зависит от правой части $|\phi_1-\phi_2|$"
33) - не скажу. Возможно интегральная форма нужна.

[Gortaur]

Имеется ввиду одна и та же лемма, в общей формулировке Дан ее Вам привел. В каждой из приведенных Вами тем она применяется для того, чтобы от неравенства, где в левой и правой части есть переменная функция, перейти к неравенству, где переменная функция только слева.

(Оффтоп)

Комментарий "Спасибо, Кэп" не принимается.