частный случай теоремы Римана

[tavrik]

доказать, что если ряд $\sum{a_n}$ условно сходящийся, то можно путем перестановки членов получить ряд с суммой $+\infty$.

Теорему Римана мы не доказывали и ссылаться на нее нельзя.
Но вообще, насколько я видел, доказывается она не так, как большинство мне известных математических теорем - а с помощью построения. Почти что мысленный эксперимент.
Таким же образом нужно доказывать данное утверждение?

[gris]

Да, надо построить ряд, который содержит все члены исходного и только их, и частичные суммы которого стремятся к бесконечности.
Это немного проще, чем построение ряда, сходящегося к определённому числу, но надо быть осторожным при использовании отрицательных членов. Я бы их отсортировал вначале по убыванию.
Надо опираться на необходимый признак сходимости ряда и на лемму о рядах из положительных и отрицательных членов исходного ряда.

Хотя можно попробовать и другое доказательство.

[ewert]

gris в сообщении #455531 писал(а):

Я бы их отсортировал вначале по убыванию.
Надо опираться на необходимый признак сходимости ряда

Нет никакой необходимости что-то сортировать, и необходимое условие сходимости (для получения именно плюс бесконечной суммы) тоже не нужно. Вполне достаточно того, что для условно сходящегося ряда сумма всех его неотрицательных членов равна плюс бесконечности (и даже неважно, что сумма всех отрицательных тоже бесконечна).

Всё банально. Просто накапливаем неотрицательные слагаемые (но не менее одного), пока не перешагнём через плюс единичку. Потом добавляем одно отрицательное. Снова добавляем не менее чем одно неотрицательное до перешагивания через плюс двойку и добавляем следующее отрицательное. Потом аналогично перешагиваем через плюс тройку и т.д.

(стремление к нулю общего члена не обязательно, хотя его ограниченность всё-таки нужна)

[gris]

Вот именно этого я и ждал!!!
А Вы уверены, что после добавления очередного отрицательного члена, мы не рухнем слишком далеко назад? Придётся это "слишком" контролировать.
Поэтому я и хотел вначале использовать все отрицательные, меньшие $-1$, а положительные накапливать до очередного шага, большего 2.
Можно и с ограниченностью, но тогда и накопление надо делать не в $1$, а соответственное. Ну или выкручиватья с доказательством, что все частные суммы минорируются неограниченно возрастающей последовательностью.
А как доказать, что члены условно сходящегося ряда ограничены?

[ewert]

gris в сообщении #455541 писал(а):

А Вы уверены, что после добавления очередного отрицательного члена, мы не рухнем назад, за ноль?

Вот как раз для этого и нужна ограниченность отрицательных членов ряда (и не обязательно их стремление к нулю).

Даже если они ограничены по модулю числом $2389534096$ и на каждом "отрицательном" шаге мы проваливаемся на $2389534096$ вниз -- это не имеет значения: ведь на каждом "положительном" мы хоть на единичку, но подымаемся относительно предыдущего уровня. А значит, в конечном итоге всё-таки подымаемся.

-- Ср июн 08, 2011 10:59:05 --

gris в сообщении #455541 писал(а):

А как доказать, что члены условно сходящегося ряда ограничены?

Из их стремления к нулю.

Пафос в том, что стремление к нулю действительно необходимо, если мы хотим доказать возможность получения любой конечной суммы. А вот для получения бесконечной -- нет.

[gris]

Я там чуть поправил Не обязательно за ноль.
Ну да, только это потребует лишних слов и могут быть придирки, которые ещё отбить надо. То есть интуитивно это ясно, но интуитивно некоторые последовательность $1;0;2;3;0;4;5;6;0;7;8;9;10;0;11;12;13;14;15$ могут счесть сходящейся с плюс бесконечности
Ну и ограниченность членов сходящегося ряда тоже надо доказать, несмотря на очевидность.

А, ну вот, так необходимый признак и пригодился.

[ewert]

gris в сообщении #455557 писал(а):

Ну да, только это потребует лишних слов и могут быть придирки, которые ещё отбить надо.

Ну в этом отношении стремление к нулю ничем не поможет -- дополнительные заклинания так и так понадобятся. Не говоря уж про заклинания, требуемые для сортировок.

[gris]

А вот об этом я и говорю.
Для студента -психолога сама идея с накоплением уже выше крыши и достойна пятёрки. Для Вас тоже наличие этого волочащегося сзади хвоста не помеха, лишь бы он был ограничен. (Я имею в виду не Ваш хвост, естественно, а то можно подумать, что я было посягнул, так сказать).
А вот для студента-математика полезно эти теоремы доказывать очень скрупулёзно.
Впрочем, я же с Вами не спорю, и это, может быть, мои личные заморочки.
Кстати, я не имел ввиду точную сортировку. Достаточно отобрать конечное число членов, меньших $-1$.