Помогите, пожалуйста, с доказательством по дифф уравнениями

[Suugakuka]

Дана смешанная задача для параболического уравнения</div>
${u_t} = \Delta u + c(x)u + f(t,x),u(0,x) = \varphi (x),\frac{{\partial u}}{{\partial n}}{|_S} = \psi (t,x)$

Доказать, что функция $u(t,x) = \int\limits_0^\infty {v(\tau ,x)G(\tau ,t)d\tau } $ является решением, если $v(t,x)$ есть решение следующей задачи для гиперболического уравнения
${v_{tt}} = \Delta v + c(x)v + \widetilde f(t,x)$,</div>
$v(0,x) = \varphi (x),{v_t}(0,x) = 0,\frac{{\partial v}}{{\partial n}}{|_S} = \widetilde \psi (t,x)$.

Подразумевается, что $\[f(t,x) = \int\limits_0^\infty {\widetilde f(\tau ,x)G(\tau ,t)d\tau } ,\psi (t,x) = \int\limits_0^\infty {\widetilde \psi (\tau ,x)G(\tau ,t)d\tau } \]$,
$\[G(\tau ,t) = \frac{1}{{\sqrt {\pi t} }}{e^{ - \frac{{{\tau ^2}}}{{4t}}}}\]$.

Я жду любой помощи: конкретные намеки на решение или список литературы, давайте обсудим это, спасибо!

[sup]

Ну а что Вас так "пугает"? Все это очень похоже на метод "толчков Дюамеля".

$\Delta u = \int \limits_0^{\infty}\Delta vG d\tau$
$u_t = \int \limits_0^{\infty}vG_t d\tau$

Заметим, что

$G_t=G_{\tau \tau}$

Ну а теперь интегрируем пару раз по частям (по $\tau$) и тд.
Ну еще придется разобраться с начальным условием. Для этого надо будет обосновать предел при $t \to 0$

[Suugakuka]

Спасибо, понятнее стало. Только как быть с пределом? по Лопиталю только пробовала... не считается предел.

[sup]

Да уж. Тут "Лопиталь" вряд ли поможет.
Прежде всего, надо четко уяснить с какими функциями мы имеем дело. В каком смысле принимается значение $u(0,x) = \varphi (x)$? Ваши функции непрерывны? Да и перед этим "куча проблем". Почему можно дифференцировать под интегралом? Почему сходятся интегралы и тп. Формальное интегрирование/дифференцирование вроде бы дает нужный результат. А как обосновать?
Для этого нужно явно указать что это за функции $\varphi, \tilde \psi, \tilde f$. Ну, например, они непрерывные или дифференцируемые раз 15 или что там от них нужно. Отсюда делаем вывод о том, что за функции $v,\psi, f$ и тд. Заметим, что $G(\tau,t)$ - "хорошая" функция, очень быстро убывает по $\tau$. Это должно помочь в плане сходимости интегралов (мажоранты всякие и тп). Что касается начальных данных, предлагаю рассмотреть следующее представление
$u(t,x)=v(0, x)+\int \limits_{0}^{\infty}(v(\tau,x)-v(0,x))G(\tau,t) d\tau$
А теперь посмотрите, что там происходит с $G(\tau,t)$ при $t \to 0$.

[Suugakuka]

Перехожу на сканирование... У меня некоторые изменения с входными данными. Теперь моя задача полностью выглядит вот так:

-- 14.06.2011, 02:35 --

(Ага, только разберусь, как тут вставлять картинку...)

-- 14.06.2011, 02:35 --

(Ага, только разберусь, как тут вставлять картинку...)

[AKM]

На всякий случай предупредю, что сканы вместо формул на форуме запрещены, и их впаривание зачастую приводит к карантинизации темы.

[Suugakuka]

Да, уже информация дошла об этом)
Так вот, что изменилось:
$\[\left\{ {\begin{array}{l} {u(0,x) = \varphi (x)}\\ { - {u_x}(t,0) = {\psi _1}(t)}\\ {{u_x}(t,l) = {\psi _2}(t)} \end{array}} \right.\]$

$\[\left\{ {\begin{array}{l} {v(0,x) = \varphi (x)}\\ {{v_t}(0,x) = 0}\\ { - {v_x}(t,0) = \widetilde {{\psi _1}}(t)}\\ {{v_x}(t,l) = \widetilde {{\psi _2}}(t)} \end{array}} \right.\]$

AKM:

Исправил формулы.

$\[{\psi _1}(t) = \int\limits_0^\infty {\widetilde {{\psi _1}}(\tau ,x)G(\tau ,t)d\tau } \]$

$\[{\psi _2}(t) = \int\limits_0^\infty {\widetilde {{\psi _2}}(\tau ,x)G(\tau ,t)d\tau } \]$

$\[\Delta u = {u_{xx}}\]$

$\[\Delta v = {v_{xx}}\]$

-- 14.06.2011, 19:28 --

Т.е. теперь у меня функции u, v зависят от одной переменной х.
А как вы думаете, из входных данных можно сделать вывод, что вторые производные ф-ций u и v равны нулю.
Это очень бы облегчило доказательство равенства.

-- 14.06.2011, 19:44 --

Кстати, о вопросах, заданных мне выше: предполагается, что я сама должна определить, на что способны данные мне функции? То есть какими они и должны быть, чтобы дифференцировать их по t и интегрировать по тау?
И еще - измененные входные данные как-то влияют на те вопросы? Ну, может, на какие-то отвечают)

[AKM]

Что это за штуки такие --- < /div >?

[Suugakuka]

Да нет, на <div> вообще не смотрите, это видимо, ошибки при наборе в TeX'e, извиняюсь.
Я вот только сама в догадках, (особенности подчерка) в ф-ции $v_x{(t,l)}$ действительно l или там должна быть экспонента. И аналогично с ф-цией v.
Я не могу решить, что там ставить из-за того, что еще не поняла, где мне это применять при доказательстве.

-- 14.06.2011, 21:13 --

Результат моих преобразований почти совпадает с желаемым:
$\int\limit_0^\infty{v_{tt}(\tau,x)G(\tay,t)}=\int\limit_0^\infty{(Delta vG(\tau,t)+c(x)v(\tau,x)G(\tay,t)+widetild f(\tau,x)G(\tau,t))d\tau}$

[Suugakuka]

Почему количество исправлений ограничено? Я еще не успела научиться, чтоб сразу без ошибок писать...
В общем, где G(,t) - $G(\tau,t)$ ,
где $Delta\,v$ - это оператор лапласса к функции v - $\Delta\,v$
где widetildef - $\tilde f$
Осталось доказать, что
$\Delta u = \int\limits_0^{\infty}\Delta vG(\tau,t)d\tau$
Если мне кто-нибудь подтвердит, что это все ноль, то замечательно.

Еще здесь же функция $v(\tau,x)$ под интегралом не дает мне покоя, только вот почему - не знаю, надо ли что-то в доказательстве насчет нее говорить? и в $u_t$ и в $\int\limits_0^{\infty}v_{tt}G(\tau,x)d\tau$ она в таком виде и есть, т.е. равенство достигается.

[Suugakuka]

Еще по поводу левых частей:
С $u_t$ все, конечно, ясно)
Вторая:
$\[\begin{array}{l} \int {{v_{tt}}(\tau ,x)G\left( {\tau ,t} \right)d\tau = \underbrace {{v_t}(\tau ,x)}_{ = 0} \cdot G(\tau ,t)} |_{\tau = 0}^{ + \infty } - \\ - \int\limits_0^{ + \infty } {{v_t}(\tau ,x){{G'}_\tau }d\tau = - v(\tau ,x){{G'}_\tau }d\tau } + \int\limits_0^{ + \infty } {v(\tau ,x)} {{G'}_{\tau \tau }}d\tau \end{array}\]$
В этом преобразовании незнаю, куда девать вот это:
$- v(\tau ,x){{G'}_\tau }d\tau $
Или, может, с этого места брать $\tau = 0$ и будет мне счастье?..

-- 14.06.2011, 23:38 --

Мне так хочется с кем-нибудь об этом поговорить...

[sup]

Вы напрасно "шарахаетесь" из стороны в сторону. Действуйте по порядку.
Прежде всего, и я Вам об этом уже говорил, с какими фукциями мы имеем дело? Вам не отвертеться от этого вопроса. Давайте, для начала, предположим, что $v(\tau,x)$ достаточно гладкая функция. Если угодно, пусть она будет бесконечно дифференцируемой и ограниченной (позже попробуем понять, что же на самом деле нужно).
Пусть $t>0$.
Чему равны $u_{xx}$,$u_t$ ? Выразите их "по человечески". Интегрируя по частям, преобразуйте $u_t$. То что у Вас было написано выше - просто каша. При интегрировании по частям, разумеется, возникают краевые слагаемые. Ну так и воспользуйтесь имеющимися условиями. Что до $G(\tau,t)$, то это вполне конкретная функция, что Вам мешает использовать её явный вид?

[Suugakuka]

Когда в $u_t$ подставим данные, получим:
$u_t = \Delta u+c(x)\int\limit_0^{infty}{(v(\tau,t)G(\tau,t)+ \tilde f(\tau,x)G(\tau,t))d\tau}$

Когда домножим первоначальное гиперболическое уравнение на функцию G и проинтегрируем по $\tau$, получим:
$\int\limit_0^{\infty}{v_{tt}G(\tau,t)}=\int\limit_0^{\infty}{\DeltavG(\tau,t)+(v(\tau,t)G(\tau,t)+ \tilde f(\tau,x)G(\tau,t))d\tau}$

Теперь осталось доказать равенства левых частей:
$u_t = \int\limit_0^{\infty}{v_{tt}G(\tau,t)}$

А в правой части доказать:
$ \Delta u = \int\limit_0^{\infty}{\Delta vG(\tau,t)}$
И я предполагаю, раз
$-u_x(t,0)=\psi_1(t)$
$u_x(t,l)=\psi_2(t)$
и
$-v_x(t,0)=\tilde{\psi_1}(t)$
$v_x(t,l)=\tilde{\psi_2}(t)$
то
$\Delta u=u_{xx}=\Delta v=v_{xx}=0$
И тогда $ \Delta u = \int\limit_0^{\infty}{\Delta vG(\tau,t)} = 0$

Теперь о равенстве левых частей:
Дифференцируем u(t,x) по t: (1)
$u_t = \int\limit_0^{\infty}{v(\tau,x)G'_t(\tau,t)}d\tau$

И интегрируем по частям $\int\limit_0^{\infty}{v_{tt}G(\tau,t)}$ (2)
$\[\begin{array}{l} \int\limit_0^{\infty} {{v_{tt}}(\tau ,x)G\left( {\tau ,t} \right)d\tau = \underbrace {{v_t}(\tau ,x)}_{ = 0} \cdot G(\tau ,t)} |_{\tau = 0}^{ + \infty } - \\ - \int\limits_0^{ + \infty } {{v_t}(\tau ,x){{G'}_\tau }d\tau = - v(\tau ,x){{G'}_\tau }d\tau } + \int\limits_0^{ + \infty } {v(\tau ,x)} {{G'}_{\tau \tau }}d\tau \end{array}\]$

Для (1) и (2) равенство почти достигнуто, мешает $- v(\tau ,x){{G'}_\tau }d\tau$, ее нет в (1)

[sup]

То, что у Вас написано - просто ужасно (прежде чем отослать текст, воспользуйтесь кнопочкой "Предпросмотр"). Дело даже не в том, что у Вас ошибки при наборе формул.

Suugakuka в сообщении #458087 писал(а):

Теперь осталось доказать равенства левых частей:
$u_t = \int\limit_0^{\infty}{v_{tt}G(\tau,t)}$

Вы либо очень торопитесь, либо не понимаете что пишите.
Давайте так. Чтобы все было "как положено", будем писать все аргументы.
$u_t(t,x) = \int \limits_0^{\infty}{v(\tau,x)G_t(\tau,t)}d\tau$
Что дальше?

[Suugakuka]

То, что я написала, я и имела ввиду, не вижу ошибки. Мне нужно показать, что гиперболическое уравнение преобразованиями приводится в параболическое, они оба в самом-самом начале записаны.
Параболическое начинается с $u_t$, гиперболическое - $v_{tt}$, а после преобразований левая часть такая:
$\int\limit_0^{\infty}v_{tt}G(\tay,t)$
Вот я и пребразовываю. В чем моя ошибка, скажите еще раз, не поняла)