Перестановочность интеграла и супремума

[Nimza]

Подскажите, есть ли какие-то достаточно широкие достаточные условия на функцию $f(t,s)$ для того, чтобы было

$\sup\limits_{s(\cdot)} \int\limits_{a}^{b} f(t,s(t)) dt = \int\limits_{a}^{b} \sup\limits_{s(t)} f(t,s(t)) dt$

Особенно хорошо, если есть критерии связанные с выпуклостью и полунепрерывностью. Если это существенно, то $s(t)$ лежит в выпуклом множестве.

[ИСН]

Я вообразил семейство синусоид, $f(t,s)=\sin(t+s)$ в пределах от 0 до $2\pi$, и теперь не могу отделаться от этого образа. Ваша перестановочность вообще когда-нибудь бывает актуальна?

[Nimza]

Ну неравенство $\leqslant$ очевидно. Обратное будет, например, если из $S(t) = Argmax\limits_{s} f(t,s)$ можно выбрать такой селектор, что $f(t,s)$ будет интегрируема. Например, $f(t,s) = \langle g(t),s \rangle$ и $s$ живёт на выпуклом компакте.

Я поспешил, извиняюсь. Внешний супремум по функциям $s(\cdot)$.

Могу ещё больше конкретизировать вопрос. Всегда ли для непрерывной функции $f(t,x)$, выпуклой по второму аргументу

$\int\limits_{a}^{b} f(t,x(t)) dt = \sup\limits_{\lambda(\cdot)} \int\limits_{a}^{b} \left[ \langle x(t),\lambda(t) \rangle - f^{*}(t,\lambda(t)) \right] dt$,

$f^{*}(t,\lambda)$ --- сопряжение по Фенхелю (преобразование Лежандра) по второму аргументу, $x(t)$ непрерывна.