Найти инвариантные алгебраические кривые для лин. оператора

[Rock`n`Rolla]

Задача: Найти собственные значения и векторы, а также все инвариантные алгебраические кривые для линейного оператора $x \to Ax$, $x \in \mathbb{R}^2$, если:

$\frac{1}{16}\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -7 & 9 \end{pmatrix}$

Нашел характеристический многочлен:
$\lambda^2-\frac{5}{8}\lambda+\frac{1}{16}$

Собственные числа:
$\lambda_1=\frac{1}{2}$ и $\lambda_2=\frac{1}{8}$

Собственные вектора:
$\begin{pmatrix} 1 \\ 7 \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$

Подскажите, как теперь найти все инвариантные алгебраические кривые?

[ИСН]

Инвариантные кривые? Вау! Впервые слышу про такое. (Смысл-то ясен из названия.) А какие они вообще бывают?

[Rock`n`Rolla]

Здесь инвариантными алгебраическими кривыми буду две прямые:
$7x_1=x_2$ и $x_1=x_2$
Но также есть еще. А почему они инвариантны и каким образом мы их получили я не совсем понимаю.

[ИСН]

Вы эту штуку тоже впервые видите, как и я, или за ней всё-таки есть некая теория? Дак расскажите же! А то я, конечно, вижу там ещё пучок кубических парабол, но убей бог, не пойму, что делать в общем случае. Да и в этом: точно ли больше нет?

[Rock`n`Rolla]

Я ее впервые вижу. Еще сказали что $(x_1-x_2)(7x_1-x_2)=0$ тоже будет инвариантна, но есть еще одна или несколько инвариантных кривых.

-- Вт июн 07, 2011 20:44:41 --

По поводу парабол, это вы случайно не про характеристический многочлен? Я полагаю он тоже инвариантен...

[ИСН]

А, ну тогда давайте вместе изобретать. Перейдём в базис собственных векторов. Пускай теперь (0,1) соответствует соб.числу $1\over2$, а (1,0), соотв., $1\over8$. Куда перейдёт точка (1,1)? А если потом на неё ещё раз подействовать нашим оператором? А ещё? А ещё? А не получится ли эти точки описать какой-то общей формулой?

-- Вт, 2011-06-07, 21:49 --

Rock`n`Rolla в сообщении #455407 писал(а):

По поводу парабол, это вы случайно не про характеристический многочлен?

Нет. На это Вас могли бы навести ключевые слова "пучок" и "кубических", если бы - - -
И потом, хар. многочлен вообще не является алгебраической кривой.

[alisa-lebovski]

Задайте кубическое уравнение от обеих переменных в общем виде и посмотрите, при каких значениях параметров оно окажется инвариантным относительно оператора.

[ИСН]

Или так, да. Но я против, потому что тут априори нифига не ясно, с какого мы должны брать третью степень. (Не 2? Не 4?)

[Joker_vD]

Вообще какое-то дикое задание. Дано линейное отображение $A\colon\mathbb R^2\to\mathbb R^2$, и нужно найте все многочлены $F\in\mathbbR[X,Y]$ такие, что $A(V(F)) \subset V(F)$. Ну и для чего это нужно?

[Yu_K]

http://www.ega-math.narod.ru/Arnold.htm например задача 95 у Арнольда - как раз про инвариантные многочлены.

[alisa-lebovski]

Задание интересное, у нас таких не было.
Третью степень надо брать потому, что $\frac{1}{8}=\left(\frac{1}{2}\right)^3.$