нормальный оператор

[IGreench]

(44.25 Кострикин) Пусть А - нормальный оператор в евклидовом пространстве V, причем А^2=-Е. Доказать, что А*=-А. (Оператор нормален, если А*А=АА*)

привет всем! у меня не получается решить эту задачу
из ответа следует что оператор ортогонален, но из условия А^2=-Е я не смог это вывести. просмотрел леммы, свойства, теоремы, следствия - ничего не нашел, что могло бы помочь...
помогите пожалуйста :) зараннее спасибо!

[tavrik]

по моему, можно в данном уравнении $A^2 + I = 0$ выяснить каковы собств. числа у этого оператора. а потом взять произвольный вектор в пространстве и прийти к заключению.

[ewert]

Через собственные числа можно, конечно, но тут некоторая проблема -- нужно знать спектральную теорему для нормальных операторов. Кроме того, евклидовыми вообще-то называют вещественные пространства со скалярным произведением, а тогда тут некоторая дополнительная морока с формальностями; хотя не знаю, что под этим термином понимает Кострикин -- может, он отождествляет евклидовы и унитарные .

Прямее так. Из условия следует, что оператор невырожден и, значит, достаточно доказывать $A^*A=E$. Из нормальности и условия очевидно, что ${(A^*A)}^2=E$, и при этом оператор $A^*A$ самосопряжён и неотрицателен. Т.е. дело сводится к доказательству такого факта: если оператор $B$ самосопряжён, неотрицателен и $B^2=E$, то и $B=E$. Ну тут уж как угодно можно: и через спектральную теорему для самосопряжённых (точнее, существование собственного базиса, но это она фактически и есть), и без неё.

[IGreench]

Спасибо! попробую...

[IGreench]

Цитата:

Из нормальности и условия очевидно, что (А* А)^2 = E

можно про это поподробней... а то для меня это не так очевидно =)

[IGreench]

Объясните пожалуйста!
какой сделать первый шаг?

Дано:
AA* = A*A
A^2 = -E

Как хотя бы придти к выводу, что (A*A)^2 = E ?

(Оффтоп)

Кострикин не отождествляет евклидовы и унитарные пространства. Это видно из его некоторых задач.

[IGreench]

Всё разобрался...

единственный вопрос остался, что за спектральная теорема? в гугле не нашел что-то понятное или нужное. И как с помощью нё доказать, что B = E из того, что B^2 = E...