Вероятность делимости одного числа из набора на другое.

[farewe11]

Привет. Похожую, только более общую тему ранее я уже поднимал на этом форуме. Совместными усилиями пришли к выводу, что вероятность делимости одного числа из набора последовательных натуральных чисел на другое равна

$$\frac{\sum_{i=1}^N \left([\frac{N}{i}]-1\right)}{C_N^2}$$

Где числитель дроби - количество пар чисел, в которых одно число кратно другому, а в знаменателе содержится общее число пар.
Кто-нибудь может объяснить, почему для числителя именно такое выражение?
P.S. И если нужно вычислить вероятность, допустим, того, что число $a$ не делится ни на $b$, ни на $c$ из набора, то она будет выглядеть вот так?

$$\left(1- \frac{\sum_{i=1}^N \left([\frac{N}{i}]-1\right)}{C_N^2}\right)\cdot\left(1-\frac{\sum_{i=1}^{N-1} \left([\frac{N-1}{i}]-1\right)}{C_{N-1}^2}\right)$$