Бесконечное множество правых лучей

[Xenia1996]

Клетки бесконечной шахматной дски пронумерованы 1, 2, 3, ... по спирали.
Где-то вот так:

$\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|} \hline 17 & 16 & 15 & 14 & 13 \\ \hline 18 & 5 & 4 & 3 & 12 \\ \hline 19 & 6 & 1 & 2 & 11 \\ \hline 20 & 7 & 8 & 9 & 10\\ \hline 21 & 22 & 23 & 24 & 25 \\ \hline \end{tabular}$
И так далее.

Назовём правым лучом последовательность клеток, начинающуюся с некоторой клетки и идущую направо.

а) Доказать, что существует правый луч, не содержащий ни одного числа, кратного 3.
б) Доказать, что таких лучей бесконечно много (разумеется, попарно непересекающихся).

[Lunatik]

Т. к. человек хочет спать, скажу в двух словах: разность двух соседей преставляет число $1+8x$, причём в порядке неубывания (если идти слева-направо). Потом берём просто такое число x, чтобы $1+8x, 1+8(x+1)$ и т. д. не делилось на 3... завтра напишу более подробное решение, а сейчас я пояснил, на чём он основывается

[zhekas]

Пусть число $a_0$ находится на на $k_0$ - кольце ($2, .., 9$ - первое кольцо, $10, ..., 25$ - второе, и т.д.). Причём с права. Тогда следующее справа число $a_1=a_0+(8k_0+1)$, $a_2=a_1+(8(k_0+1)+1)$, и т.д.
$a_n$ - член можно выразить в явном виде по следующей формуле

$$a_n=a_0+\sum\limits_{i=1}^n{8(k_0+i-1)+1}=a_0+n(8k_0+4n-3)$$

выражение $n(8k_0+4n-3)$ даёт всего 2 остатка пр делении на 3. Поэтому можно подобрать $a_0$ - находясь на правой вертикали $k_0$- го кольца, чтобы $a_n$ - не делилось на 3

В частности луч начинающийся с числа $2$ является таковым

б) Собственно можно выбирать их так.

Первый луч начинается с $2$. Начало следующего луча находится на 3 вправо и на 3 вверх