Мера на топологических пространствах

[Gortaur]

Есть некоторое множество $S$. На нем всегда можно ввести сигма-алгебру $2^S$, но это не значит, что на таком измеримом пространстве получится построить меру (контрпримеры же есть).

Теперь пусть будет еще и топология на $S$, а сигма-алгебру мы определим борелевскую. Можно ли тогда построить меру? Очевидно, что не всегда: если топология была дискретная, а $S = [0,1]$, то меру не построишь.

Какие (достаточные) условия нужны, чтобы на топологическом пространстве с борелевской сигма-алгеброй можно было построить меру?

Особенно интересны свойства вроде
- сепарабельности;
- метризуемости; по крайней мере, для конечномерных можно брать меру Хаусдорфа, но что для бесконечномерных?
- счетной базы.

[Хорхе]

Да нет, меру всегда можно построить. Например, равную нулю на всех подмножествах. Или комбинация дельта-мер.

Короче, с вопросом явный косяк.

[Gortaur]

Угу, уже понял. Я еще хочу, чтобы данная мера была ненулевая на любом открытом множестве. Так интереснее или тоже тривиально?

[Oleg Zubelevich]

Gortaur в сообщении #454803 писал(а):

Я еще хочу, чтобы данная мера была ненулевая на любом открытом множестве

если топологическое пространство сепарабельно, со счетным плотным множеством $\{x_n\},\quad n\in\mathbb{N}$, то можно поступить так $\mu=\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{2^k}\delta_{x_k}$

[Gortaur]

Спасибо, подходит.